连续时间系统的时域分析

1第二章连续时间系统的时域分析学习目标1.理解0_和0+时刻系统状态的含义，并掌握冲激函数匹配法2.理解冲激响应、阶跃响应的意义，掌握其求解方法3.掌握系统全响应的两种求解方法：自由响应和强迫响应4.熟练掌握零输入响应和零状态响应的定义和求法；5.会分辨全响应中的瞬态响应分量和稳态响应分量；教学重点难点重点掌握卷积积分的定义、代数运算规律和主要性质，并会用卷积积分法求解线性时不变系统的零状态响应。教学内容§2.1引言线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。一、建立数学模型建立数学模型就是根据力学、电学等物理学规律，得到输入和输出之间满足的数学表达式。数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。例如，对于经典力学理论，主要是依赖于牛顿定律；对于微波和电磁场而言，组要依赖于麦克斯韦方程；本课程主要研究的是由电阻、电容、电感等器件构成的集总参数电系统，它的数学模型的建立主要有依赖于KCL和KVL方程。在物理课程和《电路分析》课程中已经提供了相应的理论和方法。连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分方程描述，若输入输出只用一个高阶的微分方程相连系，而且不研究系统内部其他信号的变化，这种描述系统的方法称为输入——输出或端口描述法。te□Str系统分析的任务就是对给定系统模型求系统的输出。系统时域分析包含两方面内容，一方面是微分方程的求解，另一方面是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与激励信号进行卷积，求出系统的响应；同时引入近代系统时域分析方法，将建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。本章还将说明微分方程的算子符号表示法，它使微分方程的表示及运算简化。最后，简单介绍“分配函数”的概念。本章共8学时，其中，讲授6学时，习题课1学时，讨论课1学时。2§2.2微分方程的建立与求解为建立线性系统的数学模型，需列出描述系统特性的微分方程表达式，现举例说明微分方程的建立方法。一、复习R,L,C,的电压电流关系。RiuRuiRRRRcctccdutitCdtutidtLLLLduLtidttdiLtu1例2-1：如下图所示为RLC并联电路，求并联电路的端电压tu与激励源tis间的关系。上课前应复习“电路分析”知识。+—LtiLtuL+—CtiCtuc+—RRuRitu—+ciLiRitis3dttduCtiduLtiRtutictLR,1,由KCL得：titititiscLR（1）将以上三式代入上方程（1）得：tidtdtuLdttduRdttudCs1122若组成系统的文件都是参数恒定的线性元件（且无储能），则构成的系统是线性时不变系统。对于复杂系统，设激励信号为te，响应为tr，则可用一高阶的微分方程表示teEdttedEdttedEtrCdttdCdttdCmmmmmnnnrnnr11101110（2）若方程（2）的te及其各阶导数都为零，则方程称为齐次方程011110trCdttdrCdttdCdttdCnnnnrnnr（3）由经典法可知，方程（2）的解由齐次方程和特解两部分组成。齐次解是齐次方程的解。齐次方程解的形式为tAe函数的线性组合，将tAetr代入方程（3）得01110nnnnCCCC（4）方程（4）称为方程（2）的特征方程，对应的n个根n,,21称为微分方程的特征根。若特征根无重根，则niihAtr1tie若1是K阶重根，则tknjjtniiKinjeBetAtr111例1求023trtrtr的齐次解例3求tetrtrtrtr167的齐次解复习“高等数学”微分方程的解法相关知识。4解其特征方程为003201216733201223teAeAtAtrttn特解trp的函数形式与激励函数形式有关求解方法是将激励te代入方程（2）右端，化简右端函数式称为“自由项”，根据自由项选特解函数式，代入方程后，求得特解的待定系数，即可求出特解trp激励函数te与特解的对应关系，见P46表2-2。例：2-4给定方程tetetrtrtr32若（1）2tte，（2）tete分别求两种情况下此方程的特解解：（1）将2tte代入方程得：自由项为tt22故设特解3221BtBtBtyp代入方程得ttBBBBBtB233223432212121对比系数得：03222343321211BBBBBB27109231321BBB271092312tttrp（2）当tete，可选tpBetr，代入方程后得ttttteeBeBeBe3231B于是特解tpetr31于是完全解treAtrpnitii15若给定微分方程和激励信号te，在给出一组求解区间内的边界条件，便可确定待定系数iA。若te是在t=0时刻加入，则把求解区间定为t0，通常取0t这样对应的一组条件称为初始条件。微分方程的齐次解称为系统的自由响应，特征方程nii,3,2,1称为系统的“固有频率”（自由频率，自然频率）；特解称为系统的强迫响应，强迫响应只与激励函数的形式有关，完全响应由系统的自身特性决定的自由响应trh和与外加激励信号te有关的强迫响应trp组成的。§2.3起始点的跳变——从0到0的转换在系统分析中，把响应区间确定为激励信号te加入后，系统变化区间，一般te在t=0时刻加入，这样系统的响应时间为t0，若系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态，0,,0,0011rdtdrdtdrrnnk这组状态称为系统的起始状态（0状态）,它包含了为计算未来响应的全部“过去”信息。在te加入之后，这组状态从0t到0时刻可能发生变化。完全响应表达式treAtrpnitii1中常数niAi,2,1是由响应区间内0t时刻的一组状态确定的。0,,0,0011rdtdrdtdrrnnk这组状态称为初始条件（简称0状态）。由此可见，用时域经典法求解系统的响应时，为确定自由响应部分常数niAi,2,1，还必须根据系统的0状态和激励情况求出0状态。对于具体电路，0状态就是系统中储能元件的储能情况，一般情况下，先求出电容上的起始电压和电感中的起始电流，0cV，0Li。讲解本部分知识不应快，应先易后难，循序渐进。6当电路中没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于电容及没有冲激电压（或阶跃电流）作用于电感，则换路期间电容两端电压和流过电感中的电流不会发生突变，即00ccVV，00LLii，然后根据元件特性约束和网络拓扑约束求得0时刻的其他电流或电压值，下面以具体例子，说明这种情况下电路响应的求解方法。例：如图所示1tuRituccs而()2ccdutiCdt将(2)式代入(1)式子得tuRdttduCtuccstuRCtuRCtuscc11tututuscctcnAetu令Btucp则代入方程得4tucp4tuAetutc而Vuc20tuc的电压不能突变，故Vuc20将Vuc20代入+—1Ritic+1CFtuc+tus+2v4v74tuAetutc，得A=-242tcetu0t2-5例如图所示电路，0t开关S处1位置且已达到稳定，当t=0时，由1转向2，建立电流ti的微分方程并求解ti在0t时的变化。解：ttiRtec12（1）2RtidttdiLtLLc（2）tidttdctititiLcLc（3）消去tc，tiL得tedttdetedtdtitidtdtidtd22222246107（4）.求齐次方程0107tititi特征方程：010725,221ttheAeAti52210ta)求特解:当0t时，vte42代入（4）式得故方程16107tititi（5）8令Btip代入（5）式得581610BB故系统的完全解为585221tteAeAti0t（6）c．确定待定系数21,AA由于无冲激电压，故电容电压不能突变00ccvv，而VRRRvc5620212ARRVi542021AveRic51456411)0(0102100101cvdtdedtdRdtdisAiiCedtdRL25451411011001011d.求ti在0t时的完全响应将20,5140ii代入（6）式得152342520514580212121AAAAiAAi0,581523452tAeetitt当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有无跳变，取决定于微分方程在右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.若包含有(t)及9其各阶导数,说明相应的变量从0-到0+状态发生了跳变,即.等等)0()0(或)0()0(rrrr此时为确定0,0rr等，可以用冲激函数匹配法。其原理根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。下面举一例子说明：已知？求0若-0,233rVttrtr解：由分析可知：方程右边含ttrt3,含可以断定，由此可推断ttr3包含，而方程右端无t项，故，中还应包含ttr9由于，中含ttr9得出r(t)在t=0时刻有tu9存在，若tu表示0到0相对单位跳变函数，即7900rr上述方程可用数学方法描述设tuctbtatr积分一次有：tubtatr将trtr,代入原方程ttrtr33得ttubtatuctbta33解得：279303033cbabcabatu表示从0-到0+相对单位发生跳变函数bubar000brr00即7290r例2-6用冲激函数匹配法求解例2-5的完全响应r(t)tutttititi8122107已知：SAidtdAi00,54