概率论与数理统计猴博士

精心整理概率论第一课一、无放回类题目例1：盒子中有4红3白共7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样的，现无放回的摸4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？P=P=例2：隔壁山头共有11只母猴儿，其中有5只美猴儿、6只丑猴儿，在大黑天看起来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来5只，问天亮后，发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少？P=P=关于的计算：二、有放回类题目例1：盒子中有5红6白共11个球，不用眼瞅，11个球摸起来是一样的，现有放回的摸5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少？例2：在小弟为我抓回的5只母猴儿中，有2美3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为她抓虱子。就这样，过去了101天，抓了101次虱子，问这101次中，为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少？三、需要画图的题目例1：已知0x1，0y1，求xy的概率是多少？①表现已知条件②表现待求概率的条件③找出①②重合部分④P(xy)==例2：已知1x1，1y1，求x2+y21的概率是多少？P===四、条件概率公式：P(B|A)=解释：事件A：掷一次骰子，朝上点数大于3事件B：掷一次骰子，朝上点数是6P(B|A)：掷一次骰子，已知朝上点数大于3，朝上点数是6的概率P(AB)：掷一次骰子，朝上点数是6的概率P(A)：掷一次骰子，朝上点数大于3的概率精心整理例1：小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？事件A：小明得60分以上事件B：小明得80分以上P(B|A)：小明得60分以上时，小明得80分以上的概率P(AB)：小明得80分以上的概率P(B|A)===例2：某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会发生洪水的概率是85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水的概率是多少？事件A：今年没有发生洪水事件B：明年发生洪水P(B|A)：今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率P(AB)：今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率P(B|A)====五、全概率公式公式：A、B…等个体均可能发生某事，则P(发生某事)=P(A出现)·P(A发生某事)+P(B出现)·P(B发生某事)…例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车出现)P(高速车故障)+P(普通车出现)P(普通车故障)=20%×0.002+80%×0.01=0.0084例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)P(傻狍子通过)=50％×100％+50％×1％=50.5％六、贝叶斯公式公式：A、B…等个体均可能发生某事，则P(已知有个体发生某事时，是A发生的)=例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车出现)P(高速车故障)+P(普通车出现)P(普通车故障)=20%×0.002+80%×0.01精心整理=0.0084P(已知有客车发生故障，是高速客车发生的)===例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，被抽中的员工是傻狍子的概率。P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)P(傻狍子通过)=50％×100％+50％×1％=50.5％P(已知有员工通过考核，是傻狍子通过的)===概率论第二课七、已知与中的一项，求另一项公式：(x)=′(x)(x)=例1：设X的分布函数=，求X的密度函数。(x)=′(x)=??例2：设X的密度函数=，求X的分布函数。精心整理当x2时，(x)==1当0≤x≤2时，(x)==+x当x0时，(x)===0(x)=八、已知与中的一种，求P公式：P(aXb)=(b)(a)=例1：设X的分布函数(x)=，求概率PP(4)=P(2x2)=(2)(2)=ln20=ln2例2：设X的密度函数(x)=，求概率P(1x2)P(1x2)==+=+=0+1=1九、或含未知数，求未知数公式：(∞)=0，(+∞)=1，==1例1：设X的分布函数(x)=(λ0)，求a和b。(+∞)=1?a+b=1精心整理?a+b=1?a+=1?a=1=?0=a+b?0=a+b?a+b=0?例2：设X的密度函数=，求常数a。=1?++=1?++=1?0+2a+2+0=1解得a=十、求分布律例1：从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示从中取出的最大号码，求其分布律。X可能的取值为3，4，5，6P(X=3)==P(X=4)==P(X=5)==P(X=6)==分布列：十一、已知含有未知数的分布列，求未知数例1：已知分布列如下，求k的值。+++k=1解得k=概率论第三课十二、已知X分布列，求Y分布列例1：已知X的分布列，求Y=+1的分布列。X202P0.40.30.3①根据X的所有取值，计算Y的所有取值==精心整理====②将表格里X那一列对应换成YY515P0.40.30.3化简一下：Y15P0.30.7例2：已知X的分布列，求Y=2X1的分布列。X3456P①根据X的所有取值，计算Y的所有取值========②将表格里X那一列对应换成YX57911P也可以表示成：Y~十三、已知，求例1：设X的分布函数为=，求Y=2X的分布函数。①写出X=?YY=2X?X=精心整理②用?y替换中的x，结果为=③判断?y中是否有负号若无，则(y)=(?y)若有，则(y)=1(?y)(y)==例2：设X的分布函数为=，求Y=X的分布函数。①写出X=?YY=X?X=Y②用?y替换中的x，结果为(y)=③判断?y中是否有负号若无，则(y)=(?y)若有，则(y)=1(?y)(y)=1(y)=十四、已知，求例1：设X的密度函数为=，求Y=2X的密度函数。①写出X=?YY=2X?X=②用?y替换中的x，结果为精心整理=③令====④判断?y中是否有负号若无，则(y)=若有，则(y)=(y)==概率论第四课十五、符合均匀分布，求概率公式：P=例1：设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率。总长度：3大于3的长度：2=例2：设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值小于3的概率。总长度：3小于3的长度：1=十六、符合泊松分布，求概率公式：P(X=x)=例1：某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布。求在一分钟内呼叫次数不超过6次的概率。X表示一分钟内接到呼叫的次数P(X≤6)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=++++++=十七、符合二项分布，求概率公式：P(X=x)=例1：重复投5次硬币，求正面朝上次数为3次的概率。精心整理x=3n=5P(正面朝上)=P(X=3)==例2：在二红一绿三个球中有放回地摸3次，求摸到红球次数为2次的概率。x=2n=3P(摸到红球)=P(X=2)==十八、符合指数分布，求概率公式：f(x)=例1：某种电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从λ=的指数分布。求：(1)一个元件能正常使用1000小时以上的概率；(2)一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率。X的密度函数为f(x)=(1)P(X1000)=dx=dx=(2)P(1000X2000)==dx=+十九、符合正态分布，求概率公式：例1：设随机变量X服从正态分布N(1.5,4)，求：(1)P(1.5X3.5)；(2)P(X3.5)。[其中：Φ(0)=0.5，Φ(0.75)=0.7734，Φ(1)=0.8413，Φ(2.25)=0.9878]μ=1.5，σ==2精心整理(1)P(1.5X3.5)=Φ()Φ()=Φ(1)Φ(0)=0.3413(2)P(X3.5)=Φ()=Φ(1)=0.8413二十、正态分布图像公式：①图像关于μ对称②面积表示概率，总面积为1③σ越小，图像越陡例1：例2：常见分布的其他表示方法均匀分布U[a,b]二项分布B[n,p]指数分布E(λ)正态分布N例：①X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率。即X~U[2,5]，求X的取值大于3的概率。②某种电子元件的使用寿X(单位:小时)服从λ=的指数分布…即某种电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从X~E()…概率论第五课二十一、已知二维离散型分布律，求???例1：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：求：(1)P(X=0)，P(Y=2)(2)P(X1，Y≤2)(3)P(X+Y=2)(4)X，Y的分布律(5)Z=X+Y的分布律解：(1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4P(Y=2)=0.1+0.2=0.3(2)P(X1，Y≤2)=0.2+0.1=0.3(3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4(4)(5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1二十二、已知二维离散型分布律，判断独立性公式：如果任意，均满足P(X=，Y=)=P(X=)·P(Y=)那么X、Y相互独立精心整理否则X、Y不相互独立例1：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：请判断X、Y的独立性。例2：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：X、Y是相互独立的，求α、β的值。+++++=1二十三、已知F(x,y)，求f(x,y)公式：f(x,y)=例1：二十四、已知f(x,y)，求F(x,y)例1：已知二维随机变量的联合密度函数f(x,y)=求F(x,y)。例2：已知二维随机变量的联合密度函数为：f(x,y)=，求F(x,y)。二十五、已知F(x,y)，求P公式：P(X≤，Y≤)=F(，)例1：二十六、已知f(x,y)，求P例1：例2：二十七、求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知数公式：F(+∞,+∞)=1，F(∞,∞)=0，F(x,∞)=0，F(∞,y)=0dxdy=1例1：例2：二十八、求均匀分布的f(x,y)与P公式：例1：概率论第六课二十九、求边缘分布函数公式：(x)=F(x,+∞)，(y)=F(+∞,y)例1：三十、求边缘密度函数三十一、判断连续型二维变量的独立性精心整理公式：例1：三十二、已知f(x,y)，Z=X+Y，求(z)公式：(z)=dx例1：三十三、已知f(x,y)，Z=，求(z)公式：(z)=·|y|dy三十四、已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=max(X,Y)，求(z)公式：(z)=(z)·(z)例1：设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为，求Z=max(X,Y)的分布函数。三十五、已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=min(X,Y)，求(z)公式：(z)=1·例1：设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为，求Z=min{X,Y}的分布函数。概率论第七课三十六、求离散型的期望E(X)公式：例1：已知一周获利10万元的概率为0.2，获利5万元的概率为0.3，亏损2万元的概率为0.5，该工厂一周内利润的期望是多少？X1052P0.20.30.5三十七、求连续型的期望公式：例1：三十八、已知求公式：离散型，连续型精心整理例1：例2：三十九、求方差公式：→离散