《数列求和》

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和．在历年高考要求中，等差数列与等比数列的有限和总是有公式可求。2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.有些特殊数列的求和可采用分部法转化为等差或等比数列的求和(能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和)或用裂项法，错位相减法，分项和并项求和法，逆序相加法，分组组合法，递推法等求和。.高考要求1．公式法：直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和．(1)等差数列的前n项和Sn＝＝.(2)等比数列的前n项和Sn＝.＝2.一些常见数列的前n项和公式：①1＋2＋3＋4＋…＋n＝②1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝③2＋4＋6＋8＋…＋2n＝④12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16⑤13＋23＋33＋…＋n3＝[nn＋12]2＝n2n＋124n2n2＋nnn＋12公式法的数列求和例1：(1)求和1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n＋1)＝___________；(2)求和22＋23＋24＋…2n＋3＝________.解：(1)这是一个以1为首项，2为公差的等差数列的求和问题，其项数为n＋1，1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n＋1)＝1＋2n＋1·n＋12＝n＋12.(2)这是一个以4为首项，2为公比的等比数列的求和问题，其项数为(n＋3)－2＋1＝n＋2，∴Sn＋2＝41－2n＋21－2＝2n＋4－4.裂项相消法求和例2：(1)求数列11×3，13×5，…，12n－12n＋1，…的前n项和；(2)求数列11×3，12×4，13×5，…，1nn＋2的前n项和．解：(1)11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝121－13＋13－15＋15－17…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.(2)11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋2＝121－13＋12－14＋13－15…＋1n－2－1n＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2.2－1.求数列11×4，14×7，…13n－23n＋1，…的前n项和．解：11×4＋14×7＋…＋13n－23n＋1＝131－14＋14－17＋17－110…＋13n－2－13n＋1＝131－13n＋1＝n3n＋1.，则数列{an}的前n项和2－2.已知an＝Sn＝_______.11＋2＋3＋…＋n2nn＋1解析：an＝11＋2＋3＋…＋n＝2nn＋1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝21×2＋22×3＋…＋2nn＋1＝21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝21－1n＋1＝2nn＋1.裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项,使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。即：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾若干项之和．1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．2．一般如下，若{an}是等差数列，即1anan＋1＝1d(1an－1an＋1)，1an·an＋2＝12d(1an－1an＋2)．此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和．常见的拆项方法有：(1)=;(2)=;(3)=;1(1)nn111nn1()nnk111()knnk1(1)(2)nnn111[]2(1)(1)(2)nnnnn(4)12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)；(5)1n＋n＋1＝n＋1－n.错位相减法求和例3：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1(x≠0,1).解：因为x≠1，∵Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1，∴xSn＝x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)xn.两式相减得(1－x)Sn＝1＋2x(1＋x＋x2＋…＋xn－2)－(2n－1)xn＝1－(2n－1)xn＋2xxn－1－1x－1，∴Sn＝2n－1xn＋1－2n＋1xn＋1＋xx－12.(12分)(2009·广东汕头潮阳区高三期末)已知f(x)＝，数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)(n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列；(2)记Sn(x)＝(x0)，求Sn(x)．【阅卷实录】【教师点评】x＝1时，Sn(1)＝3＋6＋9＋…＋3n＝7分x≠1时，Sn(x)＝3x＋6x2＋9x3＋…＋3nxn，xSn(x)＝3x2＋6x3＋…＋3(n－1)xn＋3nxn＋1，(1－x)Sn＝3x＋3x2＋…＋3xn－3nxn＋1，Sn＝，11分综上，x＝1时，Sn(1)＝n(n＋1)，x≠1时，Sn(x)＝.12分【规范解答】解：3-1．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝______.解析：∵an＝n·2n∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2∴Sn＝2n＋1(n－1)＋2.答案：(n－1)·2n＋1＋2即：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减整理即可求出Sn.用乘公比错位相减法求和时，应注意：1．要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．[思维拓展]错位相减法这种方法主要用于{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列，是高考试题中常见题型．3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于()A．1B.56C.16D.1304．若数列{an}的通项公式为an＝n2n，则前n项和为()A．Sn＝1－12nB．Sn＝2－12n－1－n2nC．Sn＝n(1－12n)D．Sn＝2－12n－1＋n2n1＋2＋22＋…＋21.求和1＋4＋7＋10＋…＋(3n＋4)＋(3n＋7)＝2.已知an＝1n－1＋1，则数列{an}的前n项和Sn＝______.__________.3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5等于()A．1B.56C.16D.130解析：∵an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋(15－16)＝1－16＝56.答案：B（4）解析：an＝n2n，∴Sn＝1×12＋2×122＋…＋n×12n，①12Sn＝1×122＋2×123＋…＋(n－1)×12n＋n×12n＋1，②①－②，得12Sn＝12＋122＋…＋12n－n2n＋1，∴Sn＝1＋12＋…＋12n－1－n2n＝1－12n1－12－n2n＝2－12n－1－n2n.答案：B【方法规律小结】数列求和需掌握以下基本常用解法：1．直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比数列的公比q与1的讨论．2．错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．3．裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．