高三圆锥曲线知识点总结

第八章《圆锥曲线》专题复习一、椭圆方程.1.椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF2．椭圆的方程形式：①椭圆的标准方程：i.中心在原点，焦点在x轴上：)0(12222babyax.ii.中心在原点，焦点在y轴上：)0(12222babxay.②一般方程：)0,0(122BAByAx.③椭圆的参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）.注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆.3．椭圆的性质：①顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba.②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2.③焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.④焦距：2221,2baccFF.⑤准线：cax2或cay2.⑥离心率：)10(eace.⑦焦半径：i.设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则：证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为“左加右减”.ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则：⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径：222bda；坐标：22(,),(,)bbccaa4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于0的参数，)0ba的离心率也是ace我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.5．若P是椭圆：12222byax上的点.21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得）.若是双曲线，则面积为2cot2b.1020,PFaexPFaex1020,PFaeyPFaey▲asinacos,()bsinbcos(),NyxN的轨迹是椭圆二、双曲线方程.1.双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF2．双曲线的方程：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax.一般方程：)0(122ACCyAx.3．双曲线的性质：①i.焦点在x轴上：顶点：)0,(),0,(aa焦点：)0,(),0,(cc准线方程cax2渐近线方程：0byax或02222byaxii.焦点在y轴上：顶点：),0(),,0(aa.焦点：),0(),,0(cc.准线方程：cay2.渐近线方程：0bxay或02222bxay，参数方程：tansecbyax或sectanaybx.②轴yx,为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离心率ace.④准线距ca22（两准线的距离）；通径ab22.⑤参数关系acebac,222.⑥焦半径公式：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221aexFMaexFM0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF020102014．等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.5．共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax.▲yxM'MF1F2▲yxM'MF1F26．共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21,3(得12822yx.7．直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.注意：⑴过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.⑵若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑶若P在双曲线12222byax，则常用结论1：P到焦点的距离为m与n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：ePFePFdd2121=nm.⑷：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22图形▲yxO▲yxO▲yxO▲yxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e焦点12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF▲yxF1F21234533注意：⑴xcbyay2顶点)244(2ababac.⑵)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF.⑶通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.⑷pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数）.⑸关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB为过抛物线y2=2px(p0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ，则：①x1x2=24p，y1y2=－p2;②|AB|=22sinp；③以AB为直径的圆与准线相切；④焦点F对A、B在准线上射影的张角为900；⑤112||||FAFBP.四、圆锥曲线的统一定义.1.圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时）.2.圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD,即证AD与BC的中点重合即可.3.当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为22xymn=1（m0，n0且m≠n），这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式mx2+ny2=1（mn≠0）来表示，所不同的是：若方程表示椭圆，则要求m0，n0且m≠n；若方程表示双曲线，则要求mn0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论。4.双曲线是具有渐近线的曲线，复习中要注意以下两个问题：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线方程，将双曲线的标准方程22221xyab中的常数“1”换成“0”，即得2222xyab=0，然后分解因式即可得到其渐近线方程xyab=0；若求中心不在原点，对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程x，y分别配方，然后将常数“1”换成“0”，再分解因式，则可得渐近线方程，例如双曲线222(2)3yx=1的渐近线方程为222(2)3yx=0，即y±3（x+2），因此，如果双曲线的方程已经确定，那么它的渐近线方程也就确定了。（2）求已知渐近线的双曲线方程，已知渐近线方程为axby=0时，可设双曲线方程为2222(0)axby，再利用其他条件确定的值，求法的实质是待定系数法，如果已知双曲线的渐近线，双曲线方程却不是惟一确定的。5、在建立抛物线的标准方程的坐标系时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。五．直线和圆锥曲线的位置关系:相交，相切，相离。1．直线与圆锥曲线C位置关系的判断:判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。①当a≠0时，若Δ＞0，则与C相交；若Δ=0，则与C相切；若Δ＜0，则有与C相离。②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设，，则弦长公式：当时,弦长公式还可以写成：注意：利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理。六.求曲线的方程.1．坐标法的定义：在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.2．坐标法求曲线方程的步骤：建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）3．求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法等。七.规律方法指导.1．三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的对比:椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1、F2的距离之和为定值2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹1．到两定点F1、F2的距离之差的绝对值的为定值2a（0＜2a＜|F1F2|）的点的轨迹2．与定点和定直线的距离之比为定值e的点的轨迹（0＜e＜1）2．与定点和定直线的距离之比为定值e的点的轨迹（e＞1）与定点和定直线的距离相等的点的轨迹图形方程标准方程参数方程（参数为离心角）（参数为离心角）（t为参数）范围，，中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点（a，0）（－a，0），（a，0），（－a，0）（0，0）（0，b），（0，－b）对称轴x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2bx轴，y轴；实轴长2a，虚轴长2bx轴焦点F1（c，0），F2（－c，0）F1（c，0），F2（－c，0）焦距离心率e=1准线渐近线2．有关圆锥曲线综合题类型:(1)求圆锥曲线方程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。此处注意n个未知数，列够n个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。注意：求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推