多尺度法初识和应用

多尺度法初识和应用摘要：简要介绍多重尺度发的中心思想，另外，举例说明多重尺度法在求解方程中的应用。非线性问题的研究非线性问题的“个性”很强，处理起来十分棘手。历史上曾有过一些解非线性方程的“精品”，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是“凤毛麟角”。因此，长期以来，对非线性问题的研究一直分散在自然科学和技术科学的各个领域。本世纪六十年代以来，情况发生了变化。人们几乎同时从非线性系统的两个极端方向取得了突破：一方面从可积系统的一端，即从研究多自由度的非线性偏微分方程的一端获得重大进展。如在浅水波方程中发现了“孤子”，发展起一套系统的数学方法，如反散射法，贝克隆变换等，对一些类型的非线性方程给出了解法；另一方面，从不可积系统的极端，如在天文学、生态学等领域对一些看起来相当简单的不可积系统的研究，都发现了确定性系统中存在着对初值极为敏感的复杂运动。促成这种变化的一个重要原因十计算机的出现和广泛应用。科学家们以计算机为手段，勇敢地探索那些过去不能用解析方法处理的非线性问题，从中发掘出规律性的认识，并打破了原有的学科界限，从共性、普适性方面来探讨非线性系统的行为。线性与非线性的意义“线性”与“非线性”是两个数学名词。所谓“线性”是指两个量之间所存在的正比关系。若在直角坐标系上画出来，则是一条直线。由线性函数关系描述的系统叫线性系统。在线性系统中，部分之和等于整体。描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是原方程的解。这是线性系统最本质的特征之一。“非线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直角坐标系中呈一条曲线。最简单的非线性函数是一元二次方程即抛物线方程。简单地说，一切不是一次的函数关系，如一切高于一次方的多项式函数关系，都是非线性的。由非线性函数关系描述的系统称为非线性系统。多尺度法的基本思想多尺度法首先是由Sturrock(1957)、Cole(1963)、Nayfeh(1965)等提出的,此后得到进一步的发展。上面介绍该法的基本思想与方法。我们考虑形式为的方程所控制的系统，设方程的解为将原点移至中心位置是合适的。于是有0qfq22100xxqxqq0qq此时第一式可写成假设f可以展为泰勒级数，则上式可写为其中而f(n)表示关于自变量的n阶导数，对于中心，，而我们可以把方程的解看成是多个自变量的函数，而不是一个自变量的函数。也就是们可以把x看成是t和,…,的函数。多尺度法的基本思想是，将表示响应的展开式考虑成为多个自变量(或多个尺度)的函数。即因此关于t的导数变成了关于的偏导数的展开式，即然后代入方程进行求解，求出。这时，方程的解可写成：然后按照小参数法(摄动法)建立ε的各阶方程，进而求出多重尺度法的应用一、求解自治系统例1.4.1求Duffing方程（1.1.4）0qqx00qxfxNnnnxax1001qfnann！00qf0qfnt,2,1,0ntTnntTtTtT2210101100DDddddddTtTTtTt20212102022D2DDDD2Dddt,,,321xxx,,,321xxx30(1)xxx自由振动的二次近似解（用多尺度法）解：求二次近似解可选三个变量，设2001210122012(,,)(,,)(,,)xxTTTxTTTxTTT代入原方程，并用到式（1.4.3），可得到下列方程组200200xxT（1.4.4a）22311020012xxxTTT(1.4.4b)222232220122001021223xxxxxTTTTTT(1.4.4c)设式（1.4.4a）的解为01200(,)exp()exp()xATTiTAiT其中A是未知复函数，A是A的共轭。用复数形式表示是为了运算方便。把0x代入式（1.4.4b）223110020123exp()exp(3)xAxiAAiTAiTccTT其中cc表示前面各项的共轭。为使x1,不出现永年项，必须21230AiAAT（1.4.4d）又求得3101exp(3)8xAiTcc把01,xx代入（1.4.4c）,并利用条件（1.4.4d），有2324522000202152132exp()exp(3)exp(5)888xAxiAAiTAAiTAiTccTT消除永年项32215208AiAAT（1.4.4e）解2x为45200211exp(3)exp(5)6464xAAiTAiTcc利用式（1.4.4d）,（1.4.4e）求A（T1,T2）如下：由（1.4.4d）2132AiAAT由（1.4.4c）2321516AiAAT利用式（1.4.3a）并注意到00AT，就得到223315216dAiAAiAAdt令1exp()2Aai，其中,a是t的实函数，将之代入上式，实、虚部展开，有0a2243158256aa积分得0aa22403158256aat00,a为积分常数，所以224001315exp()28256Aaiaati于是，原方程二阶近似解为322500001211cos(1)cos3cos532321024xaaaa其中2240315(1)8256aat二、无限传输方程的近似解（一）稳定性分析对于系统()()()()(())xtxtxtxtfxt（2.1.1）对于方程（2.1.1）的根0x,如果对0x的任一邻域U,存在0x的一个属于U的邻域1U，使系统（2.1.1）的解()xt，若有01xU,则对一切0t，有()xtU，就称0x是稳定的，否则就称为不稳定的。如果0x稳定，并且有0()limtxtx，就称0x是渐近稳定的。定义：若（2.1.1）的零解对都是渐近稳定的。则称（2.1.1）为全时滞稳定的。或叫无条件稳定或绝对稳定。可求(2.1)的特征方程：将txce代人到方程（2.1.1）中则有，()txtce()()txtce()()txtce所以有：()()0tttcecece即有：0ee（2.1.2）1ee若0时，则1为其特征根。如果其特征根位于左半平面，而当由0增至时，不越过虚轴，则系统（2.1.2）的更全具有负实部，这样系统（2.1）的零解为全时滞稳定的。因此，要使（2.1.1）为全时滞稳定，首先要使（2.1.2）的根具有负实部。只有当(2.1.1)的特征根为纯虚数时，方程的解才有近似周期解。用i代人（2.1.1）中，有0iiiiee即(cossin)cossin0iiii所以有cossin0sincos0令22()(1cos)cosf当1cos0时，在区间上0,2上，'22()2(1cos)sinsin0f函数f单调当0时，2()(0)0ff当2时，22()()024ff函数与X轴有交点，方程有解，即特征方程（2.1.2）有纯虚根。（二）近似周期解在3x的非线性扰动的情况下，可求系统的一次近似周期解（利用多尺度法）设2001210122012()(,,)(,,)(,,)xtxTTTxTTTxTTT（2.2.1）其中2012,,nnTtTtTtTt应用微分算子，记00DT，11DT，知：2201010()0()dDDdtTT（2.2.2）由001101()(,)(,)xtxTTxTT20()，知001101()(,)(,)xtxTTxTT20()(2.2.3)根据二元函数的泰勒展开：00(,)fxhyk0000(,)()(,)fxyhkfxyxy令0010(,0,,)TxhTyk知100100110(,)(,)(0)TxxTTxTTxTT0011(,)xxTTT10111(,)xTTDx（2.2.4）110110110(,)(,)(0)TxxTTxTTxTT1011(,)xxTTT10111(,)xTTDx（2.2.5）将（2.2.4），（2.2.5）代人(2.2.3)中得到时滞项：2001101()(,)(,)0()xtxTTxTT10111(,)xTTDx+210111(,)xTTDx+20()20011011001(,)[(,)(,)]0()xTTxTTDxTT（2.2.6）3301()()xtxx32001001101(,)3(,)(,)xTTxTTxTT22330011011013(,)(,)(,)xTTxTTxTT（2.2.7）223000111010012()xxxxxxxtTTTTTT（2.2.8）将（2.2.1）（2.2.2）(2.2.3)（2.2.4）（2.2.5）（2.2.7）（2.2.8）代人原方程得()()()xtxtxt20001100100011101(,)(,)(,)(,)DxTTDxTTDxTTDxTT20001100101011101(,)(,)(,)(,)DxTTDxTTDxTTDxTT0011011001(,)(,)(,)xTTxTTDxTT3223243001001101001101101(,)3(,)(,)3(,)(,)(,)xTTxTTxTTxTTxTTxTT这样根据多项式的性质，可知，指数012,,的系数在等式两边相等。这样就有，000010001001:(,)(,)(,)0DxTTDxTTxTT（2.2.9）则，当(,)abD时，系统可形如（2.1.1），这样0i是特征方程的根。易见方程（2.2.9）有如下形式的谐波解：000011(,)()TixTTATecc其中cc表示前面各项的共轭，000000111(,)()()TiTixTTATeATe00000032332001111(,)()3()()TiTiTixTTATeATeATe000000223231113()()()TiTiTiATeATeATe00000000333223111111()3()()3()()()TiTiTiTiATeATATeATATeATe11001010110010101:(,)(,)(,)(,)DxTTDxTTDxTTDxTT1011001(,)(,)xTTDxTT3001(,)xTT又有，000001001111(,)TiTixAADxTTeeTTT这样，01010101101(,)(,)(,)DxTTDxTTxTT3100110011001001(,)(,)(,)(,)DxTTDxTT