圆锥曲线的切点弦方程

2011年江西高考一道试题解法的推广──圆锥曲线的切点弦方程圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。背景知识已知圆222:0Cxyrr,点00,Axy是圆C上一点，求以点A为切点的切线方程.分析：易知以00,Axy为切点的直线方程为：2000xxyyrr（2011年江西高考理科第14题）问题1：若椭圆22221xyab的焦点在x轴上，过点11,2作圆221xy的切线，切点分别为AB、，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________.解：设1122,,,AxyBxy∵点AB、在圆221xy上，则过点11,Axy的切线方程为111:1Lxxyy.过点22,Bxy的切线方程为222:1Lxxyy.由于12,LL经过点11,2则1122111,122xyxy.故1122,,,xyxy均为方程112xy的解。∴经过AB、两点的直线方程1:12ABxy.设椭圆22221xyab的右焦点为,0c,上顶点为0,b.由于直线AB经过椭圆右焦点和上顶点。1,12bc即2b2225abc故椭圆方程为22154xy.由此题的解题方法，可得到如下推广：结论一：（圆的切点弦方程）过圆2220xyrr，外一点,Pab作圆的两切线，切点为MN、，则直线MN的方程为：2axbyr.问题2：过椭圆22143xy外一点1,2P作椭圆的两切线，切点为MN、求直线MN的方程.解：设1122,,,MxyNxy则过MN、的切线方程分别为；11221,14343xxyyxxyy由于两切线都过1,2P，则11143xxyy①22143xxyy②这两式表示直线2143xy经过MN、，所以直线MN的方程为：2143xy。结论二：（椭圆的切点弦方程）过椭圆222210xyabab外一点00,Pxy作椭圆的两切线，切点为MN、则直线MN的方程为：00221xxyyab问题3：过抛物线24yx外一点1,2P作抛物线两切线，切点分别为MN、，求直线MN的方程。解：设1122,,,MxyNxy则过MN、的切线方程为11222,2yyxxyyxx由于过MN、的切线都经过1,2P则1122221,221yxyx∴直线MN的方程为221yx即10xy结论三：（抛物线的切点弦方程）过抛物线220ypxp外一点00,Pxy作两切线，切点为MN、，则直线MN的方程为00yypxx.问题4：过双曲线22154xy外一点3,3P作双曲线两切线，切点分别为MN、，求直线MN的方程。解：设两切点的坐标为1122,,,MxyNxy则两切线方程为11221,15454xxyyxxyy，由于两切线均过3,3P则112233331,15454xyxy故1122,,,xyxy均为方程33154xy的解，则过MN、的直线方程为：33154xy结论四：（双曲线的切点弦方程）过双曲线22221xyab外一点00,Pxy作双曲线两切线，切点分别为MN、则直线MN的方程为：00221xxyyab.