高中数学知识体系框架

数轴、Veen图、函数图象集合集合元素的特性确定性、互异性、无序性集合的分类有限集无限集空集φ集合的表示列举法、特征性质描述法、Veen图法集合的基本关系真子集子集几何相等性质集合的基本运算补集交集qp并集qp.qp，则原命题：若.pq，则逆命题：若.qp，则原命题：若.qp，则否命题：若.pq，则逆否命题：若互为逆否互逆互逆互否互否四种命题.000)8()7()6(22)5()4()3()2()1(1，表示空集，表示集合，，区别：，，的集合；表示只有一个元素表示元素，区别：一般地，与表示集合与集合关系；表示元素与集合关系，的区别：，个真子集；有个子集，个元素的集合有含有；，则，若；或则则；真子集；空集是任何非空集合的aaaaanCACBBABABABAAAnn；；结合律：；；分配律：；；；；；或，，；，，，CBACBACBACBACABACBACABACBABCACBACAACCACAUACABABABAABABABAABAAAAAAAAAAUUUUUUU)6()5()4()3()2()1(基本逻辑联结词或qp或且非qpqp量词全称量词存在量词全称命题存在命题00::xpMxpxpMxp，；则，若xpMxpxpMxp，；则，若::00否定第一部分集合与简易逻辑函数与方程区间建立函数模型抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布单调性：同增异减赋值法，典型的函数零点函数的应用A中元素在B中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多函数的基本性质单调性奇偶性周期性对称性最值1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。2.复合函数单调性：同增异减。1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x).2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0.3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立。f(x+T)=f(x)；周期为T的奇函数有：f(T)=f(T/2)=f(0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。函数的概念定义列表法解析法图象法表示三要素使解析式有意义及实际意义常用换元法求解析式观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等定义域对应关系值域函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数指数函数与对数函数三角函数定义、图象、性质和应用函数映射第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分导数导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率的区别与0xfxf''000tttvaSv，0'xfk导数概念基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数.ln1lnln1logsincoscossin0''''1''xxxxanneeaaaxxaxxxxxxnxxcc；；；；；；；为常数2''''''''')3()2()1(xgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf是可导的，则有：，设xuufxgf'''1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点；2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题.00''在该区间递减在该区间递增，xfxfxfxf1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。定积分与微积分定积分概念定理应用性质定理含意微积分基本定理曲边梯形的面积变力所做的功的极限和式iniixf11定义及几何意义1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限；2.用公式。cbadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxgdxxfdxxgxfdxxfkdxxkfcbbacaabbabababababa.；；；莱布尼兹公式牛顿则若aFbFdxxfxfxFba,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程：（2）求变力所作的功；badxxFWdttvsab第三部分三角函数与平面向量化简、求值、证明（恒等式）任意角的三角函数任意角三角函数定义同角三角函数的关系诱导公式和（差）角公式二倍角公式三角函数线平方关系、商的关系奇变偶不变，符号看象限公式正用、逆用、变形及“1”的代换角正角、负角、零角象限角轴线角终边相同的角区别第一象限角、锐角、小于900的角任意角与弧度制；单位圆弧度制定义1弧度的角①角度与弧度互化；②特殊角的弧度数；③弧长公式、扇形面积公式正弦函数y=sinx三角函数的图象余弦函数y=cosx正切函数y=tanxy=Asin（ωx+φ）+b作图象描点法（五点作图法）几何作图法性质定义域、值域单调性、奇偶性、周期性对称性最值对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x轴的直线对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为(，0)（k∈Z）2k①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意的符号）；④最小正周期T＝；⑤对称轴x＝，对称中心为(，b)（k∈Z）.22212kk三角函数三角函数模型的简单应用生活中、建筑学中、航海中、物理学中等第三部分三角函数与平面向量（1）解三角形时，三条边和三个角中“知三求二”。（2）解三角形应用题步骤：先准确理解题意，然后画出示意图，再合理选择定理求解。尤其理解有关名词，如坡角、坡比、仰角和俯角、方位角、方向角等。平面向量解的个数是一个？两个？还是无解？解三角形正弦定理及变式RCcBbAa2sinsinsin适用范围：①已知两角和任一边，解三角形；②已知两边和其中一边的对角，解三角形。余弦定理CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222面积推论：求角适用范围：①已知三边，解三角形；②已知两边和它们的夹角，解三角形。实际应用是内切圆半径是外接圆半径其中rrcbaRRabccbapcpbpappCabahSABC2142sin2121表示向量的概念零向量与单位向量212212yyxxa共线与垂直线性运算加、减、数乘加、减、数乘几何意义及运算律平面向量基本定理数量积几何意义夹角公式投影abababcos方向上的投影为在bababacos,则夹角为与设共线（平行）垂直0001//1221ayxyxabba002121yyxxbaba在平面（解析）几何中的应用；在物理（力向量、速度向量）中应用向量的应用21eyexp第四部分数列数列是特殊的函数数列的定义概念一般数列通项公式递推公式an与sn的关系解析法：an=f(n)表示图象法列表法mnmnnqaqaa11特殊数列等差数列等比数列判断性质通项公式求和公式dmnadnaamn1122nmqpnmaaaaa22nmqpnmaaaaa常数nnaa1常数nnaa1dnnnaaanSnn2121111111111qqqaaqqaqnaSnnn；时q≠0，an≠0公式法：应用等差、等比数列的前n项和公式①常见递推类型及方法nfaann1qpaann111nnnnaaapannnqpaa1nnnfaa1②④③⑤1pqan构造等比数列逐差累加法逐商累积法③转化为化为111nnnnqaqpqa常见的求和方法数列应用倒序相加法分组求和法裂项相消法错位相减法21312112112161121nnknnnknnknknknk；自然数的乘方和公式：2111nSSnSannn，，等差中项：等比中项：212nnnaaa221nnnaaa数列构造等差数列paann111第五部分不等式指数对数不等式不等式二元一次不等式（组）与平面区域axbyz22byaxz简单的线性规划问题可行域目标函数应用题一次函数z=ax+b构造斜率：构造距离几何意义：z是直线ax+by-z=0在x轴截距的a倍，y轴上截距的b倍.基本不等式2baab最值变形和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值.“一正二定三相等”22222babaabbaab作差或作商借助二次函数图象，利用三个“二次”间的关系不等关系与不等式基本性质一元二次不等式及其解法比较大小问题求解范围问题解不等式一元一次:axb一元二次不等式ax2+bx+c0(a≠0)绝对值不等式分式不等式分a0,a0,a=0(b≥0,b0)讨论分a0,a0,Δ0,Δ=0,Δ0讨论一元高次不等式0021nxxxxxx解不等式组000;00xgxgxfxgxfxgxfxgxf且.22绝对值几何意义求解，可分段讨论或用形如或cbxaxxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxgxfx系数化为正，“穿根法”，奇穿偶不穿利用性质转化为代数不等式，底数a的讨论平面三公理及推论空间点、直线、平面的位置关系点与线点与面线与线平行关系的相互转化线线平行线与面面与面相交平行点在面内或点不在面内，或点在直线上或点不在直线上，或共面直线异面直线只有一个公共点线在面外线在面内相交平行没有公共点只有一个公共点Al没有公共点//ll相交平行//l线面平行面面平行面面垂直线面垂直线线垂直垂直关系的相互转化；；；；球球圆台圆台32'''22'34431RVRShssssVrllrrrS结构三视图直观图表（侧）面积体积柱、锥、台、球的结构特征简单组合体的结构特征三视图直观图（斜二侧画法）平行投影和中心投影长对正，高平齐，宽相等空间几何体第六部分立体几何与空间向量第六部分立体几何与空间向量空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围；0090,0范围；0090,0范围；00180,0.;cos;sin;cos2121nnadnnnnnanababa空间的距离点到平面的距离直线与平面所成的距离平行平面之间的距离相互之间的转化aa’bθlθnaAOBC12coscoscos12