圆锥曲线与方程综合典型测试题

圆锥曲线与方程综合典型测试题一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．已知F是抛物线241xy＝的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（）A．122－＝yxB．16122－＝yxC．212－＝yxD．222－＝yx2．已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)满足：414)1(22xyx，则BCAC（）A．6B．4C．2D．不能确定3．抛物线pxy22与直线04yax交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于（）A．7B．53C．6D．54．双曲线)0,(12222babyax的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB，若901BAF，则双曲线的离心率为（）A．)22(21B．12C．12D．)22(215．若椭圆)0(122babyax和双曲线)0,(122nmnymx有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的交点，则21PFPF的值是（）A．nbB．maC．nbD．ma6．直线l是双曲线)0,0(12222babyax的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l分成弧长为2:1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（）A．2B．2C．26D．57．直线143xy与椭圆221169xy相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△APB的面积等于3，这样的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．曲线)1(42xxy的长度是（）A．34B．32C．38D．39．方程22)1()1(yxyx所表示的曲线是（）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．不能确定10．给出下列结论,其中正确的是（）A．渐近线方程为0,0baxaby的双曲线的标准方程一定是12222byaxB．抛物线221xy的准线方程是21xC．等轴双曲线的离心率是2D．椭圆0,012222nmnymx的焦点坐标是0,,0,222221nmFnmF二、填空题（本题每小题5分，共25分）11．如果正△ABC中,D∈AB,E∈AC,向量12DEBC,那么以B,C为焦点且过点D,E的双曲线的离心率是.12．已知椭圆xmynxpyqmnpqR22221与双曲线,,,有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则12PFPF=.13．有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线x=2为准线；③离心率)()(*21Nnenn，则所有这些椭圆的长轴长之和为.14．沿向量a=(m,n)平移椭圆1522yx,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心在直线2x－y+6=0上,则m=、n=.15．已知曲线axy2与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A和B，如果过这两个交点的直线的倾斜角是45，则实数a的值是三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且AC·BC=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使PQ=λAB？17．（本小题满分12分）已知一条曲线上的每个点到A（0,2）的距离减去它到x轴的距离差都是2.（1）求曲线的方程;（2）讨论直线A(x－4)+B(y－2)=0(A，B∈R)与曲线的交点个数.18．已知圆锥曲线C经过定点P（3，32），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=－1，斜率为2的直线交圆锥曲线C于A、B两点，且|AB|=53，求圆锥曲线C和直线的方程。19．（本小题满分12分）如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足NAMNPAPAM点,0,2轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FHFG，求的取值范围.20．（本小题满分13分）已知定点(1,0)F，动点P（异于原点）在y轴上运动，连接PF，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且0PMPF，||||PNPM.（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若4OAOB且46||430AB，求直线l的斜率k的取值范围．21．（本小题满分14分）如图,在Rt△ABC中，∠CAB=90，AB=2，AC=22.一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持PAPB的值不变，直线m⊥AB于O，AO=BO.（1）建立适当的坐标系,求曲线E的方程;（2）设D为直线m上一点,ACOD,过点D引直线l交曲线E于M、N两点,且保持直线l与AB成45角,求四边形MANB的面积.参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）：(1).A(2).B(3).A(4).C(5).D(6).A(7).B(8).A(9).A(10).C二、填空题（每小题5分，共25分）(11).31(12).m-p(13).4(14).－5、－4(15)2三、解答题（共74分，按步骤得分）16.解（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系则A（2，0），设所求椭圆的方程为：224byx=1(0b2),由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由AC·BC=0得AC⊥BC，∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），∵C点在椭圆上∴22141b=1,∴b2=34,所求的椭圆方程为43422yx=1……………5分（2）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,由0431)1(22yxxky得：(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0（*）……………8分ABCOm∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为2231163kkk,设P（xP,yP）,Q(xQ,yQ),xP=2231163kkk,同理xQ=2231163kkk,kPQ=3131163311632)3116331163(2)(22222222kkkkkkkkkkkkkkxxkxxkxxyyQPQPQPQP………10分而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0）∴kAB=31∴kPQ=kAB，∴AB与PQ共线，且AB≠0,即存在实数λ，使PQ=λAB.……12分17.解：（1）设点M(x,y)是曲线上任意一点,则22)2(yx-|y|=2，整理22)2(yx=|y|+2，所求曲线的方程.C1：当y0时，x2=8y；C2：当y0时，x=0.……………5分（2）直线A(x-4)+B(y-2)=0过定点(4,2)且A、B不同时为零，（数形结合）当B=0时，A0，直线x=4与曲线有1个的交点；……………7分当B0时，令k=-BA，则y=k(x-4)+2，与x2=8y联列：x2-8kx+32k-16=0当=0时，k=1，即A=-B时，直线与C1和C2各一个交点；当k1时，BA-1时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；当21k1时，-1BA-21时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；当k21时，BA-21时，直线与C1和C2各一个交点.……………10分直线与曲线有1个的交点,当B=0时，A0；直线与曲线有2个的交点,A=-B和BA-21；直线与曲线有3个的交点,-1BA-21和BA-1.……………12分18．解：设圆锥曲线C的离心率为e,P到的距离为d，则e=144dPF…………(1分)∴圆锥曲线C是抛物线………………………（2分）∵12P∴P=2∴抛物线方程为y2=4x………………………………(3分)设的方程为y=2x+b,A(x1y1),B(x2,y2)由y=2x+by2=4x消去y，整理得：4x2+4(b－1)x+b2=0………………………………(4分)则x1+x2=－(b－1)x1x2=42b…………………………(5分)∴|AB|=)21(5]4))[(1(212212bxxxxk………………………（6分）又∵|AB|=53∴1－2b=9,∴b=－4…………………………(7分)故直线的方程为y=2x－4……………………………………(8分)综上所述：圆锥曲线C的方程为y2=4x，直线的方程为y=2x－419．（本小题满分12分）解：（1）.0,2AMNPAPAM∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分又.222||||,22||||ANCNNMCN∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222a焦距2c=2..1,1,22bca……………5分∴曲线E的方程为.1222yx………………6分（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为,12,222yxkxy代入椭圆方程得.230.034)21(222kkxxk得由设2212212211213,214),,(),,(kxxkkxxyxHyxG则……………………8分)2,()2,(,2211yxyxFHFG又2122221222122121)1(.,)1(,xxxxxxxxxxxxx，222222)1()121(316,213)1()214(kkkk整理得……………………10分.331.316214.316323164,2322解得kk.131,10又又当直线GH斜率不存在，方程为.31,31,0FHFGx)1,31[,131的取值范围是即所求……………………………………12分20．解(1)设动点N的的坐标为(,)Nxy，则(,0),(0,),(0)2yMxPx，(,),(1,)22yyPMxPF，由0PMPF得，204yx，因此，动点N的轨迹C的方程为24(0)yxx.…………5分(2)设直线l的方程为ykxb，l与抛物线交于点1122(,),(,)AxyBxy，则由4OAOB，得12124xxyy，又2211224,4yxyx，故128yy.又224440(0)yxkyybkykxb，∴216(12)048kbk，2222116||(32)kABkk，∴46||430AB即22211696(32)480kkk解得直线l的斜率k的取值范围是11[1,][,1]22.……………………12分21.解：（1）以AB、m所在直线分别为x轴、y轴，O为原点建立直角坐标系.22223222222222CBCAPBPA∴动点的轨迹是椭圆，设其半长轴、半短轴长分别为a、b，半焦距为c，则1,1,222cabca∴曲线E方程为1222yx（2）由题设知，22,0D，由直线l与AB成45角，可设直线方程为22xy，代入椭圆方程整理得012232xxABODMyNCx设2211,,,yxNyxM，则31,3222121xxxx所以，四边形MANB的面积2121yyABS222222