首发北师大版七年级数学下第一章整式的乘除第一章小结与复习

小结与复习第一章整式的乘除要点梳理考点讲练课堂小结课后作业1．幂的乘法运算法则要点梳理法则名称文字表示式子表示同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数，指数.am•an＝(m、n为正整数)幂的乘方幂的乘方,底数，指数.(am)n＝(m、n为正整数)积的乘方积的乘方，等于把积的每个因式分别，再把所得的幂.(ab)n＝(n为正整数)am＋namnanbn不变相乘相加不变相乘乘方[注意](1)其中的a、b可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式；(2)这几个法则容易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．2．同底数幂的除法法则（3）同底数幂相除,底数不变，指数相减.(a≠0,m、n为任意整数)mmnnaaa（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.（2）负整数指数幂：010aa（）11nnnaaa=（a≠0，n为正整数）3．整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的________,_____________分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个.单项式与多项式相乘，用和_______的每一项分别相乘，再把所得的积.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_______与另一个多项式的相乘，再把所得的积.系数相同字母的幂因式单项式多项式相加每一项每一项相加4．乘法公式公式名称平方差公式完全平方公式文字表示两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方的差两数和(差)的平方，等于这两数的______加上(减去)________的2倍式子表示(a＋b)(a－b)＝(a±b)2＝平方和这两数积a2－b2a2±2ab＋b2公式的常用变形a2＝(a－b)＋b2；b2＝－(a＋b)(a－b).a2＋b2＝(a＋b)2－,或(a－b)2＋；(a＋b)2＝(a－b)2＋.(a＋b)2ab2ab4ab[点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算；(2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式．a2考点讲练考点一幂的乘法运算例1计算：（1）(2a)3(b3)2·4a3b4；（2）(－8)2017×(0.125)2016.解：（1）原式=8a3b6×4a3b4=32a3+3b6+4=2a6b10.（2）原式=（－8）×（－8）2016×（0.125）2016=（－8）[（－8）×0.125]2016=（－8）×（－1）2016=－8.方法总结幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.1.下列计算不正确的是（）A.2a3·a=2a4B.(－a3)2=a6C.a4·a3=a7D.a2·a4=a8D针对训练2.计算：0.252017×（－4）2017－8100×0.5301.解:原式=[0.25×（－4）]2017－（23）100×0.5300×0.5=－1－（2×0.5）300×0.5=－1－0.5=－1.5.解:∵420=（42）10=1610，∴16101510,∴4201510.3.比较大小：420与1510.考点二整式的乘法例2计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y,其中x=1,y=3.【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.解：原式=(x3y2－x2y－x2y+x3y2)×3x2y=(2x3y2－2x2y)×3x2y=6x5y3－6x4y2.当x=1,y=3时，原式=6×27－6×9=108.方法总结整式的乘法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式及多项式乘以多项式，其中单项式乘以单项式是整式乘法的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.4.一个长方形的长是a－2b+1,宽为a,则长方形的面积为.a2－2ab+a针对训练考点三整式的乘法公式的运用例3先化简,再求值：[(x－y)2+(x+y)(x－y)]－2x2,其中x=3,y=1.5.【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号内的，再进行整式的除法运算.解：原式=(x2－2xy+y2+x2－y2)÷2x=(2x2－2xy)－2x2=－2xy.当x=3,y=1.5时，原式=－9.方法总结整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.5.求方程(x－1)2－(x－1)(x+1)+3(1－x)=0的解.解：原方程可化为－5x+5=0,解得x=1.6.已知x2+9y2+4x－6y+5=0,求xy的值.解：∵x2+9y2+4x－6y+5=0,∴(x2+4x+4)+(9y2－6y+1)=0，∴(x+2)2+(3y－1)2=0.∴x+2=0,3y－1=0,解得x=－2,y=∴12(2).33xy1,3针对训练考点四本章数学思想和解题方法转化思想例4计算：(1)－2a·3a2b3·(2)（－2x+5+x2）·（－6x3）.2;5bc【解析】(1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘以单项式可以转化为单项式乘以单项式.解：（1）原式=12313421223.55abcabc（2）原式=(－2x)·(－6x3)+5·(－6x3)+x2·(－6x3)=12x4－30x3－6x5.将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式单项式×多项式单项式×单项式有理数的乘法和同底数幂的乘法.方法总结转化转化转化7.计算：（4a－b）•（－2b）2．解：原式=（4a－b）•4b2=16ab2－4b3．针对训练整体思想例5若2a+5b－3=0，则4a·32b=.【解析】已知条件是2a+5b－3=0，无法求出a，b的值因此可以逆用积的乘方先把4a·32b.化简为含有与已知条件相关的部分，即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b-3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.8在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看做一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错.方法总结8.若xn=5，则(x3n)2－5(x2)2n=.125009.若x+y=2，则=.221122xxyy2针对训练例6如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是.baaaabbbbba-b数形结合思想a2－b2=(a+b)(a－b)【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影部分可知其面积是两个正方形的面积差(a2－b2),又由于图的梯形的上底是2b,下底是2a,高为a－b,所以梯形的面积是(2a+2b)(a－b)÷2=(a+b)(a－b),根据面积相等，得乘法公式a2－b2=(a+b)(a－b).本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形.由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起．方法总结我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图①和图②等图形的面积表示.aaabbabababa2a2b2图①b2a2a2abababaaabb图②针对训练（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.（1）请写出图③所表示的代数恒等式；bbaabaabababababa2a2b2b2图③图④a2baababababb2b2b2(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2;幂的运算乘法公式整式的乘除积的乘方平方差公式多项式与单项式相乘、相除完全平方公式整式的乘除法单项式与单项式相乘、相除多项式与多项式相乘同底数幂相乘幂的乘方同底数幂相除课堂小结见《学练优》本章热点专练课后作业