高等代数(下)考前复习题

例1（1）设21，是线性变换A的两个不同特征值，21,是分别属于21，的特征向量，试证明21不是A的特征向量。[提示：若21是的特征向量，则21，矛盾]（2）如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量为其特征向量，则线性变换A是数乘变换[提示：若线性变换A有两个不同特征值21，，而21,是分别属于21，的特征向量，由题设，21也是A的特征向量，由此推出21，因此线性变换A只有一个特征值k，对于任意非零向量，Ak].例2设线性变换A在基321,,下的矩阵是122212221A,求A的特征值与特征向量.例3设矩阵A为340430241A,(1)问A能否相似于对角阵？（2）若能，求一个可逆矩阵P，使得APP1为对角阵.例4在空间nxP][中，线性变换D)()(xfxf在基)!1(,,!2,,112nxxxn下的矩阵是0000100001000010DD的特征多项式是nDE0001000010001.因此，D的特征值只有0.通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数.这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数.定理设n,,,21为n阶矩阵nnijaA的特征值，则（1）niiinjja11（2）||1Anjj定理（1）矩阵A与A的转置有相同的特征值。（2）设是矩阵A的特征值，则mmA是的特征值（其中m是正整数）。（3）323是EAA323的特征值。（4）若矩阵A可逆，是矩阵A的特征值，则1是矩阵1A的特征值例12已知1，2，3是3阶矩阵A的特征值，计算行列式A及EAA533。定理设A是n维线性空间V的线性变换，n,,,21是V的一组基，在这组基下A的矩阵是A，则1）A的值域AV是由基像组生成的子空间，即AV=),,,(21nAAAL2）A的秩=A的秩.定理设A是n维线性空间V的线性变换，则AV的一组基的原像及A)0(1的一组基合起来就是V的一组基.由此还有A的秩+A的零度=n例6.设4321,,,是数域P上四维线性空间V的一个基，已知线性变换A在此基下的矩阵为2122552131211201，求A的值域与核及值域与核的维数。解：由核的定义，得方程组0222055203202432143214321431xxxxxxxxxxxxxxx解之得)1,0,2,1()0,1,23,2(21321123242122核112(0)L(,)A，核112(0)L(,)A的维数是2又4321443213432243211253523222AAAA4321,,,AAAA的秩为2，且21,AA线性无关.),(),,,(214321AALAAAALAV值域的维数也是2.注意1：值域的维数就是矩阵A的秩r,而核的维数就是n-r.注意2：虽然子空间AV与A)0(1的维数之和为n，但是AV+A)0(1并不一定是整个空间.（见下面例子）例5在线性空间nxP][中，令D)())((xfxf则D的值域就是1][nxP，D的核就是子空间P（即数域）.定义设A是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的一个子空间.如果W中的向量在A下的像仍在W中，换句话说,对于W中任一向量，有AW，就称W是A的不变子空间，简称A-子空间.例7A的值域与核都是A-子空间.例8若线性变换A与B是可交换的，则B的核与值都是A-子空间.例9在nR里,对于向量),,,(,),,,(2121nnbbbaaa定义内积.2),(2211nnbnababa写出柯西不等式。例1．设A=(ija)是一个n级正定矩阵，而),,(),,,(2121nnyyyxxx在nR中定义内积为:'),(A（1）证明在这个定义之下，nR成一欧氏空间。（2）求单位向量)1,0,0(),0,,1,0(),00,1(21n，的度量矩阵。（3）具体写出这个空间中的柯西—布涅柯夫斯基不等式。解：（1）只要按定义逐条验证就行。).,()(),(''''''AAAA).,()()(),(''kAkAkk),(),()(),('''''AAAjiijyxaA'),(由于A是正定矩阵，jiijyxa是正定二次型，从而0),(。且仅当0时，0),(。由此可见，nR在这一定义下成一欧氏空间。（2）设单位向量)1,0,0(),0,,1,0(),00,1(21n，的度量矩阵为)(ijbB，那么，),(jiijbijnsnttsstayxa11，此即B=A。（4）柯西不等式即.（，）'),(A略。例10在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.你会判断向量是否为标准正交基？你会判断矩阵是否为正交矩阵？（第9章习题6）例11掌握施密特正交化的方法实对称矩阵的标准形（对角化问题）（1）设矩阵A为020212022A,求一个正交矩阵P，使得APP1为对角阵.（2）设矩阵A为542452222A,求一个正交矩阵P，使得APP1为对角阵.[提示：计算特征值时，第3行加到第2行，再第3列的-1倍加到第2列]（3）用正交线性替换化二次型32312123222184422xxxxxxxxx为标准形。定理设n,,,21为n阶矩阵nnijaA的特征值，则（1）niiinjja11（2）||1Anjj定理（1）矩阵A与A的转置有相同的特征值。（2）设是矩阵A的特征值，则mmA是的特征值（其中m是正整数）。（3）323是EAA323的特征值。（4）若矩阵A可逆，是矩阵A的特征值，则1是矩阵1A的特征值例12已知1，2，3是3阶矩阵A的特征值，计算行列式A及EAA533。空间解析几何部分（1）向量的加、减、数乘向量、向量的数量积、向量积、混合积（2）直线方程，平面方程的求法（3）点到平面的距离，直线与平面的关系，平面与平面的关系（4）直线与直线的关系。异面直线的公垂线方程（5）柱面方程的求法（6）锥面方程的求法（7）绕坐标轴的旋转曲面的求法（8）常用二次曲面，比如球面、椭球面，椭圆锥面、椭圆抛物面等注意：讲过的例题、布置过的习题