2020年北京市海淀区高三数学试卷--带答案

高三年级（数学）第1页（共5页）海淀区高三年级第一学期期末练习数学2020.01本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合1,2,3,4,5,6U，1,3,5A，2,3,4B，则集合UABð是（A）1,3,5,6}（B）1,3,5}（C）1,3}（D）1,5}（2）抛物线24yx的焦点坐标为（A）(0,1)（B）(10，)（C）(0,1)（D）(1,0)（3）下列直线与圆22(1)(1)2xy相切的是（A）yx（B）yx（C）2yx（D）2yx（4）已知,abRÎ，且ab，则（A）11ab（B）sinsinab（C）11()()33ab（D）22ab（5）在51()xx的展开式中，3x的系数为（A）5-（B）5（C）10-（D）10（6）已知平面向量,,abc满足0abc，且||||||1abc，则ab的值为（A）12-（B）12（C）32-（D）32（7）已知,,是三个不同的平面，且=m，=n，则“mn∥”是“∥”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC边长为3.点D在BC边上，且BDCD，7AD.下列结论中错误的是（A）2BDCD（B）2ABDACDSS（C）cos2cosBADCAD（D）sin2sinBADCAD高三年级（数学）第2页（共5页）（9）声音的等级()fx（单位：dB）与声音强度x（单位：2W/m）满足12()10lg110xfx.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（A）610倍（B）810倍（C）1010倍（D）1210倍（10）若点N为点M在平面a上的正投影，则记()NfMa=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD-中，记平面11ABCD为b，平面ABCD为g，点P是棱1CC上一动点（与C，1C不重合），1[()]QffPgb=，2[()]QffPbg=.给出下列三个结论：①线段2PQ长度的取值范围是12[,)22；②存在点P使得1PQ∥平面b；③存在点P使得12PQPQ^.其中，所有正确结论的序号是（A）①②③（B）②③（C）①③（D）①②第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（11）在等差数列na中，25a，52a，则7a_________.（12）若复数1iiz+=，则||z=_________.（13）已知点A(0,3)，点B,C分别为双曲线22213xya(0)a的左、右顶点.若△ABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_________.（14）已知函数()afxxx在区间(1,4)上存在最小值，则实数a的取值范围是_________.（15）用“五点法”作函数()sin()fxAx的图象时，列表如下：x1412542114x02322()fx020201A1B1C1DABCDP高三年级（数学）第3页（共5页）则(1)f_________，1(0)()2ff_________.（16）已知曲线C：44221xymxy（m为常数）.（i）给出下列结论：①曲线C为中心对称图形；②曲线C为轴对称图形；③当1m时，若点(,)Pxy在曲线C上，则||1x或||1y.其中，所有正确结论的序号是.（ii）当2m时，若曲线C所围成的区域的面积小于，则m的值可以是.（写出一个即可）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（17）（本小题共13分）已知函数21()cos3sincos2fxxxx.（Ⅰ）求函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若()fx在区间[0,]m上的最大值为1，求m的最小值.（18）（本小题共13分）如图，在三棱锥VABC中，平面VAC平面ABC，△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，ABBC，2ACCV，M，N分别为VA,VB的中点.（Ⅰ）求证：AB//平面CMN；（Ⅱ）求证：ABVC；（Ⅲ）求直线VB与平面CMN所成角的正弦值.（19）（本小题共13分）某市《城市总体规划（2016—2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6~1）、良好小区（指数为0.4~0.6）、中等小区（指数为0.2~0.4）以及待改进小区（指数为0~0.2）4个等级.下面是三个小区4个方面指标的调查数据：高三年级（数学）第4页（共5页）小区指标值权重A小区B小区C小区教育与文化（0.20）0.70.90.1医疗与养老（0.20）0.70.60.3交通与购物（0.32）0.50.70.2休闲与健身（0.28）0.50.60.1注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数11223344TwTwTwTwT，其中1234,,,为该小区四个方面的权重，1234,,,TTTT为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：分组[0,0.2）[0.2,0.4）[0.4,0.6）[0.6,0.8）[0.8,1]频数1020303010（Ⅰ）分别判断A，B，C三个小区是否是优质小区，并说明理由；（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.（20）（本小题共14分）已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的右顶点2,0A，且离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过点O的直线l与椭圆C交于两点P，Q，直线AP和AQ分别与直线4x交于点M,N．求△APQ与△AMN面积之和的最小值.（21）（本小题共13分）已知函数2()e(1)(0)xfxaxa.（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）若函数()fx有极小值，求证：()fx的极小值小于1.高三年级（数学）第5页（共5页）（22）（本小题共14分）给定整数(2)nn，数列211221,,,nnAxxx：每项均为整数，在21nA中去掉一项kx,并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为km(1,2,,21)kn.将1221,,,nmmm中的最小值称为数列21nA的特征值.（Ⅰ）已知数列5:1,2,3,3,3A，写出123,,mmm的值及5A的特征值；（Ⅱ）若1221nxxx，当[(1)][(1)]0injn，其中,{1,2,,21}ijn且ij时，判断||ijmm与||ijxx的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列21nA的特征值为1n，求121||ijijnxx的最小值.海淀区2020届高三年级第一学期期末练习参考答案数学2020.01阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案DBACAABCBD二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.题号111213141516答案022(1,16)2；01②③；2m均可三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（17）解：（Ⅰ）1cos231()sin2222xfxx31sin2cos222xx高三年级（数学）第6页（共5页）πsin(2)6x.因为sinyx的单调递增区间为ππ2π,2π()22kkkZ，令πππ22π,2π()622xkkkZ，得πππ,π()36xkkkZ.所以()fx的单调递增区间为πππ,π()36kkkZ.（Ⅱ）方法1：因为[0,]xm，所以πππ2[,2]666xm.又因为[0,]xm，()fxπsin(2)6x的最大值为1，所以ππ262m.解得π6m.所以m的最小值为π6.方法2：由（Ⅰ）知：当且仅当π=π()6xkkZ时，()fx取得最大值1.因为()fx在区间[0,]m上的最大值为1，所以π6m.所以m的最小值为π6.（18）解：（Ⅰ）在△VAB中，M，N分别为VA，VB的中点，所以MN为中位线.所以//MNAB.又因为AB平面CMN，MN平面CMN，所以AB//平面CMN.（Ⅱ）在等腰直角三角形△VAC中，ACCV,ABCVMNHyxz高三年级（数学）第7页（共5页）所以VCAC.因为平面VAC平面ABC，平面VAC平面ABCAC，VC平面VAC，所以VC平面ABC.又因为AB平面ABC，所以ABVC.（Ⅲ）在平面ABC内过点C做CH垂直于AC，由（Ⅱ）知，VC平面ABC，因为CH平面ABC，所以VCCH.如图,以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.则(0,0,0)C，(0,0,2)V，(1,1,0)B，(1,0,1)M，11(,,1)22N.(1,1,2)VB，(1,0,1)CM，11(,,1)22CN.设平面CMN的法向量为(,,)xyzn，则0,0.CMCNnn即0,110.22xzxyz令1x则1y，1z,所以(1,1,1)n.直线VB与平面CMN所成角大小为，22sin|cos,|3||||VBVBVBnnn.所以直线VB与平面CMN所成角的正弦值为223.（19）解：（Ⅰ）方法1:A小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T，0.580.60,所以A小区不是优质小区;高三年级（数学）第8页（共5页）B小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.280.692T，0.6920.60,所以B小区是优质小区;C小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.280.172T，0.1720.60,所以C小区不是优质小区.方法2:A小区的指数0.70.20.70.20.50.320.50.280.58T0.580.60,所以A小区不是优质小区;B小区的指数0.90.20.60.20.70.320.60.28T0.60.20.60.20.60.320.60.280.6.B小区是优质小区;C小区的指数0.10.20.30.20.20.320.10.28T0.60.20.60.20.60.320.60.280.6.C小区不是优质小区.（在对A、B、C小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分）（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区3010104100个，其它小区1046个.依题意ξ的所有可能取值为0，1，2.26210C151(0)C453P；114621