11.如图,已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形?写出理由。(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?(3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在?2.(2009临沂)数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.90AEF,且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证AMEECF△≌△,所以AEEF.在此基础上,同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;(2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.3.(2009年铁岭市)ABC△是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点BC、重合),ADE△是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线ABAC、于点FG、,连接BE.ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图32AGCDBFE图(a)ADCBFEG图(b)(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.①求证:AEBADC△≌△;②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形?并说明理由;(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立?(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.4.(2009年日照市)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)求证:EG=CG;(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)5(2009江西)如图1,在等腰梯形ABCD中,ADBC∥,E是AB的中点,过点E作EFBC∥交CD于点F.46ABBC,,60B∠.FBADCEG第24题图①DFBADCEG第24题图②FBACE第24题图③3(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PMEF交BC于点M,过M作MNAB∥交折线ADC于点N,连结PN,设EPx.①当点N在线段AD上时(如图2),PMN△的形状是否发生改变?若不变,求出PMN△的周长;若改变,请说明理由;②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使PMN△为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由6.如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.①求证:BD⊥CF;②当AB=4,AD=时,求线段BG的长.7.探究问题:ADEBFC图4(备用)ADEBFC图5(备用)ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM4321GEFDCBA(第25题)①EFDCBA(第25题)②EFDCBA(第25题)③⑴方法感悟:如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF.感悟解题方法,并完成下列填空:将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合,由旋转可得:AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,因此,点G,B,F在同一条直线上.∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45°.即∠GAF=∠_________.又AG=AE,AF=AF∴△GAF≌_______.∴_________=EF,故DE+BF=EF.⑵方法迁移:如图②,将ABCRt沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=21∠DAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.⑶问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足DABEAF21,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由).