平面向量

平面向量1.向量：有方向又有大小的量；标量：只有大小，没有方向的量。长度、体积、重量、温度、时间……位移、力、速度、加速度……2.向量的表示方法：①小写的英文字母上加箭头来表示，如，读作向量a；a②用两个大写英文字母上加箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量，其中A为向量的起点，B为向量的终点，读作向量AB。③几何图形：用有箭头的线段来表示；3.向量的模：向量的大小叫作向量的模，记作或||aAB4.零向量：规定模为零的向量叫作零向量；记作0零向量的方向是不确定的！aAB5.向量相等：如果向量和的模相等且方向相同，那么这两个向量叫作相等的向量，ba记作baab规定：零向量都是相等的。6.负向量：如果向量和的模相等且方向相反，那么把向量叫作向量的负向量，baab记作ba显然对于任意的两点A、B，有AB=BA7.平行向量：如果向量和方向相同或相反，那么这两个向量叫作平行向量(共线向量)ba记作ba//0可根据需要确定其方向，因此可看作与任意向量平行0两个平行向量的加法：方向相同：模相加，方向与原来两个向量的方向相同。方向相反：模为两个向量模之差的绝对值，方向与模较大的向量相同。abbacabbac两个不平行的非零向量的加法：abOABCcba以O为起点，作bOBaOA,以为邻边作平行四边形OACBOBOA,则平行四边形的对角线所表示的向量cOC就叫做向量和的和，记作abbac求向量和的运算，叫做向量的加法.向量加法的平行四边形法则：两个不平行的非零向量的和：以O为起点，作bACaOA,则在三角形OAC中向量cOC且bac向量加法的三角形法则：babOABCcbabaOCcbaAb两个不平行的非零向量的加法：abOABCcbabaOCcbaAb三角形法则平行四边形法则abba)()(cbacba向量加法的运算律：如果，是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数，使。1ea2e12,1122aee平面向量分解定理:我们把不平行的向量叫做这一个平面内所有向量的一组基。12e,eoxyAB),(11yx),(22yx根据两点之间的距离公式可知：212212)()(||yyxxABC将向量的起点置于坐标原点，作，OCABAB称为位置向量。OC方向与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫作基本单位向量，记为.ji,ijABoxy),(11yx),(22yxC),(yx如何用来表示向量？ji,OCMNijONOMOCixOMjyONjyixOC将有序实数对称为向量的坐标，记为yx,OC),(yxOC(,)xy点C位置向量OC向量a向量的正交分解向量的坐标运算是实数，向量),(),,(2211yxbyxajyixa11jyixb22jyyixxba)()(2121jyyixxba)()(2121jyixa11),(2121yyxxba),(2121yyxxba),(11yxa特别地，零向量：)0,0(0向量的负向量：a11ax,y且有)0,0()(aa向量的模：a2211|a|xy向量的单位向量：a0a11022221111xya,xyxy向量的坐标运算定义实数与向量的乘积是一个向量，记作aa对的模和方向作如下规定：a(1)||||||aa(2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，为零向量。0aaaaa00规定：任意实数与零向量的乘积为零向量。00实数与向量乘积的运算律：baba)()1(aaa)()2(aa)()()3(实数与向量乘积的几何意义：由实数和向量乘积的定义可知，向量与向量平行。aa反之，若两个非零向量与相互平行，是否存在唯一的非零实数使？abab(1)向量同方向时，ba,(2)向量反方向时，ba,||||ab||||ab两个非零向量与平行的充要条件：abab存在非零实数，使定义实数与向量的乘积是一个向量，记作aa(1)||||||aa(2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，为零向量。0aaaaa00规定：任意实数与零向量的乘积为零向量。00两个非零向量与平行的充要条件：abab存在非零实数，使任给平面内的两个非零向量,abab将它们的起点移到同一点O作,OAaOBbOBAa则射线OA，OB的夹角叫做向量与向量的夹角。b的取值范围00＝向量和向量方向相同ab＝向量和向量方向相反ab2＝向量和向量垂直，记abba向量的夹角：平行向量的数量积如果两个非零向量的夹角为ba,）（0那么我们把叫作向量与向量的数量积（或内积）cos||||baab记作cos||||baba符号为不能写为数量积的运算性质：0||12aaa）（2abba（）3()()()ababab（）4()abcabac（）当且仅当时，0aa0a向量的数量积：,ab记作||||cosab一般地，两个非零向量、的夹角为，那么我们把叫做向量与向量的数量积，abab(0)||||cos.abab即000.ba规定：把叫做向量在向量的方向上的投影。||cosbab因此，数量积的几何意义是：ab||cosba两个向量、的数量积是其中的一个向量的模与另一个向量在向量的方向上的投影的乘积。abbacos.||||abab根据向量的数量积的定义，数量积的运算满足下列性质：22(1)||;aaaa(2);abba(3)()()();()abababR(4)().abcabac00;aaa222(5)()2abaabb22||2||||cos||.aabb(6)()()abcabc?0,abab//||||.ababab对于两个非零向量与有：ab任给平面内的两个向量其数量积为ba,cos||||baba),(),,(2211yxbyxajyixa1122bxiyj)()(2211jyixjyixba2211221221)(jyyjiyxyxixx2121yyxxba两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和已知P是直线P1P2上一点，且（为任意实数，且），P1、P2的坐标分别为，求点P的坐标。12PPPP11122(,),(,)xyxy(,)xy12PPPP1212()()xxxxyyyy121211xxxyyy线段P1P2的定比分点公式当时，P恰为中点，则有1121222xxxyyy中点公式.例1:已知,求:(1)m的取值范围;(2)的最值;(3)当m=6时,与的夹角.mba3,3b,2ab2aab222693bbaabacos364581936452,cosm93,m222442bbaaba64162440,cos..minmax4282bababababa222=84=例2：设函数，其中(1)求f(x)的最值。若，求a；(2)若函数的图象按向量平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m,n的值。baxf12,cosxaRxxxb,sin,cos2331afxy22sin2mnmc,1622xsinxxxxf232sincoscos13minmax,xfxf311622aafsin2362asinZkorkka,1254例2：设函数，其中(1)求f(x)的最值。若，求a；(2)若函数的图象按向量平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m,n的值。baxf12,cosxaRxxxb,sin,cos2331afxy22sin2mnmc,nmxy22sinnmxa2221622sinsin1n2m12m例3：已知的顶点坐标为A(1,0),B(5,8),C(7,-4)，在边AB上有一点P,其横坐标为4，在边AC上求一点Q，使线段PQ把分成面积相等的两部分。ABCABC直线AB的方程：y=2(x-1)点P（4，6）4684,,,ACAB651BACcosBACACABSABCsin2132yxQ,直线AC的方程：y=-2/3(x-1)132xxQ,ABCAPQSS21BACAQAPsin21161334AQ13916194122xx35,xPM例4：已知点M(-1,0),N(1,0)，且点P使成公差小于零的等差数列。（1）求点P的横坐标所满足的方程。（2）若为与的夹角，求的取值范围。PNNMPNPMMNMP,,PN22021xyxMNMP,,1,1,122yxyxyxPNPM22102xyxNPNM,,12222222yxxx322yx02222221xxxd0xPM例4：已知点M(-1,0),N(1,0)，且点P使成公差小于零的等差数列。（1）求点P的横坐标所满足的方程。（2）若为与的夹角，求的取值范围。PNNMPNPMMNMP,,PNyxPN,1yxPM,1241xPNPMPNPMcos30x121,cos30例1e1、e2不共线，a=e1+e2b=3e1－3e2a与b是否共线。解：假设,a与b共线则e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ这样λ不存在。∴a与b不共线。典型例题分析:例2设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴解：c=ma+nb(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2c=a-2b例3、已知a=(3,-2)b=(-2,1)c=(7,-4)，用a、b表示c。解：设a=(x,y)则x2+y2=100-4x-3y=0x=6x=-6y=-8y=8a=(6,-8)或(-6,8)例4、|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a解：法1a=(x1y1)b=(x2,y2)x12+y12=1x22+y22=13a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9x1x2+y1y2=3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12∴(3a+b)=2331例5、设|a|=|b|=1|3a-2b|