高量15-时间平移和时间反演

1§21时间平移和时间反演§21-1时间平移一、量子力学中的时空观在量子力学中，系统或粒子的空间坐标是物理量，有厄米算符与之对应，有本征值和本征矢量，但是时间却不是物理量，没有算符与之对应，它在理论中的地位只是一个实数参数，所以系统的哈密顿量在时间变换方面的不变性或对称性，与对空间变换的不变性是不完全一样的。2二、时间平移操作以及对态函数和算符的作用在位置表象中1.时间平移算符及对态函数的作用设系统处于某一含时态中，其态函数满足Schrödinger方程),()(ttr)(),ˆˆ(ˆ)(ttHttiP,R态的时间平移态是一个运动变化完全与相同，但全面推迟时间发生的态，即)(t)(t)(t)()(tt)()(tt3定义为作用于时间参量上的时间平移操作，即)(QttQ)(定义为作用于时间函数上的时间平移算符，这是一个函数空间上的幺正算符，其对函数的作用可写为)(ˆD),(])(,[),()(ˆ),(1ttQtDtrrrr2.时间平移算符对其他算符的作用Hilbert空间中的算符的时间平移为),ˆˆ(ˆtAP,R),ˆˆ(ˆtAP,R)(),ˆˆ(ˆ)(ˆ),ˆˆ(ˆ1DtADtAP,RP,R))(,ˆˆ(ˆ1tQAP,R),ˆˆ(ˆtAP,R4不显含时间的算符不受时间平移的影响，如RRRˆ)(ˆˆ)(ˆˆ1DDPPPˆ)(ˆˆ)(ˆˆ1DD用时间平移算符)(ˆD作用于Schrödinger方程两边：)()(ˆ)(ˆˆ)(ˆ)()(ˆ)(ˆ)(ˆ11tDDHDtDDtDi即)()(ˆ)(ttHtti此式一般来说与原来Schrödinger方程不同，因为)(ˆtH不一定与相同，因此不一定是系统一个可能实现的状态。)(ˆtH)(t5三、哈密顿具有时间平移对称性的情况具有时间平移对称性，即如果系统的Hˆ)(ˆ)(ˆtHtH对一切成立，则Schrödinger方程任何状态的时间平移态也是系统的一个可能的状态，)()(ˆ)(ttHtti哈密顿具有时间平移的对称性即是要求它不明显依赖于时间，不显含时间的哈密顿本身是一个守恒量，因此说：系统的哈密顿如果具有时间平移的不变性)(ˆ)(ˆtHtH则导致系统的能量守恒。6注意：时间平移与时间演化是两个不同的概念。波函数经时间平移后不一定再满足Schrödinger方程，而时间演化算符作用后的波函数要服从Schrödinger方程。时间平移算符：dtdeD)(ˆHieUˆ1)0,((不显含时间）Hˆ演化算符：所以：HidtdeeDˆ)(ˆ7§21-2时间反演一、态函数的时间反演变换1．时间反演算符0ˆT设系统的为实算符（不含虚数），且不含时，无自旋。系统的态满足Schrödinger方程：Hˆ),(ˆ),(tHttirr),(ˆ),()(tHttirrt换成-t：两边取复共轭：),(ˆ),(**tHttirr8令),(ˆ),(),(0*tTttrrr则为时间反演态，称为时间反演算符。每一个含时态都有一个时间反演态与之对应，当哈密顿在时间反演下不变时，时间反演态与原状态满足相同的Schrödinger方程。),(tr0ˆT满足下列条件：0ˆT010ˆˆTT1ˆˆ00TT9的时间反演是位置算符，动量算符和轨道角动量XˆPˆLˆXXXˆˆˆˆˆ100TTPPPˆˆˆˆˆ100TTLLLˆˆˆˆˆ100TTProof:取任意函数),(tr，有)],([ˆ),(ˆˆˆ*0100txiTtTPTxrr),(ˆ),(tPtxixrr所以，xxPTPTˆˆˆˆ10010如果无自旋系统的不显含时间，又是动量HˆPˆHTHT100ˆˆˆ的二次式，则有此时该系统（及其哈密顿）具有时间反演不变性或时间反演对称性。这时系统的每一个含时态的时间反演态也是系统的一个可能实现的状态。11在经典力学中，若单粒子所受的外力只是位置的函数而与速度无关，则其运动方程满足牛顿第二定律，即)F(rF(r)r22)(dttdm2.时间反演态t换成-t：F(r)r22)(dttdm令粒子的时间反演态为)()(ttrr)(tr)(tr则满足与相同的运动方程。12反演态的物理图象：当粒子从初始态经过时间运动到点，动量为时，则其时间反演态如以为初始态，经过时间后，粒子将按原路径回到，而那时动量为，情况与将原过程拍成电影倒过来放映一样。)(iip,rtfrfp)(ffp,rtirip13nitEininineat)(),(rr在量子力学中，以无自旋粒子系统为例，原来的含时态),(trSchrödinger方程，而的最一般解是),(tr),(tr与其时间反演态两者都满足同一个式中)()(ˆrrninniEHndi,,2,1ndnE是能级的简并度。时间反演态:nitEininineattTt)(),(),(ˆ),(***0rrrr),(),(ttrr可见：14),(trHˆ所以，当中不含虚数的情况下，虽然仍旧满足原Schrödinger方程，但不一定等于原过程的倒放。其原因是：①经典力学只涉及实数，而量子力学涉及复数；②量子力学中有状态叠加原理；③与之间有较为复杂的关系。)(rni)(*rni153.时间反演算符的数学性质无自旋系统的时间反演算符可以写成10ˆˆTKT),(),(ˆ*ttKrr),(),(1ttTrr不寻常的数学性质：（1）时间反演算符0ˆT不是线性算符，它是反线性算符。它虽然满足2010210ˆˆ)(ˆTTT但是00*0ˆˆ)(ˆTaTaaT16Kˆ0ˆT（2）时间反演算符（）在单一空间的函数空间中不存在厄米共轭算符。rrrrrrrrrddKdG)()()(ˆ)()()](ˆ[****根据定义，Kˆ的厄米共轭算符GˆGˆGˆ无论是什么算符，都不能上式成立。所以不存在。但Kˆ满足***),(),(),()ˆ,ˆ(KKKˆ因此，时间反演算符是反幺正算符。17（3）由于不存在厄米共轭，时间反演算符不是厄米算符，所以没有物理量与之对应，没有守恒律与之对应4.Hilbert空间中的时间反演算符（1）反线性算符对左右矢的作用：对线性算符，AAAAAA对反线性算符，?=例如：可以设a则对反线性算符A，有*)(aAA*)(aAAaAA)(18AA若对任意,,AA成立，则aAaA)()(*)()(AA，且有aa*那么必须要求不符合矢量的任意性，所以对反线性算符，所以对反线性算符要分别表示：A,,A和19（2）时间反演算符对态矢量的作用：在Hilbert空间中，无自旋系统的时间反演算符0ˆT对右矢的作用：),(ˆ),(),(0*tTttrrrrrr)()(,*0ttT利用：1rrrd左乘r并积分，得rrr)(0tdT在Hilbert空间中仍有010TT仍可写成10KTTrrr)()(tdtK左矢形式KttdKt)()()(rrr其中20内积rrrrrrddKK,rrrd（3）Hilbert空间中算符之间的关系定义一个符号“*”：用这个符号可以把KK,写成KK,所以KK,),()ˆ,ˆ(KK与函数空间中的对应1UU211KK1KKKKKK,利用有则以上关系只有处于左右矢之间时才有意义。由此可见反幺正算符与幺正算符的异同之处。1,KKK1)(,KKK1UU在Hilbert空间中，位置算符，动量算符和轨道角动量算符的时间反演变换为RR100TTPP100TTLL100TT22三、自旋1/2粒子系统的时间反演算符zS取常用的表象来讨论，自旋1/2粒子的时间反演算符T0T除了符合所满足的21.10式或21.19式之外，还应满足SS1TT0UTTS是粒子的自旋算符。令10KTT其中,U22是一个矩阵，为自旋空间中的算符。1*11001UUUTUTTTSSS23在zS表象中，10012zS01102xS002iiSyxSzSySU和都是实矩阵，而是纯虚的，所以应满足xxSUUS1*1yyUSUSzzSUUS1才能使SSS1*1UUTT取0110yiU01101yiU即可时间反演算符为T10UKTUTT12TTTTT1满足24四、哈密顿本征函数的时间反演态在时间反演下不变，有时可以讨论哈密顿本征函数的时间反演。如果态不含时，时间反演实际上是起作KEtiertr)(),(Etie由于定态中的时间因子用—取复共轭。)()(ˆrrninniEH对无自旋粒子，对两边取复共轭，)()(ˆ**rrninniEH得)(*rni)(rni即的时间反演态，可见，当哈密顿量具有时间反演不变性时，它的本征函数的时间反演仍是其本征函数，而本征值不变。25§21-3实表示和复表示介绍了如何判断他们之间的关系属于哪种类型。主要内容：讨论了一个空间对称变换群{Q}的d维表示矩阵D(Q)与其复共轭表示D*(Q)之间的关系,并重点一、变换算符的矩阵表示ni设{D(Q)}是群{Q}的一组幺正的不可约表示，其基函数为,其中n是一个给定的数，i=1,2,3,…,djjinjniQDQD)()()()(ˆrr26两边取复共轭，得jjinjniQDQD)()()()(ˆ****rr在上式中，nininiT0*ˆiizS算符的复共轭的定义为：在位置及表象中将算符中的RR*ˆˆPP*ˆˆLL*ˆˆxxSS*yySS*zzSS*所以因此，空间对称变换中的平移，转动和反演算符都满足DDˆˆ*27例如：)(*)(ˆ)(ˆPλPλiieDeD所以有jjinjniQDQD)()()()(ˆ***rr*jiD)(*QDji上式表明：矩阵元为的一组矩阵Q也是群的一组幺正的不可约表示，)(*rni其基函数是28类型1：对所有的，全是实矩阵，二、表示矩阵的分类Q)(QD或者虽然不全是实矩阵，但与一个实表示等价，这种表示称为实表示；这时可以说是实质上的实表示。)(QD)(QD另有：当表示不全是实矩阵，但与实表示等价时，)(QD)(*QD必定与等价。29类型2.这种表示称之为赝实表示。)(QD)(*QD与不等价，类型3.)(QD)(*QD与等价，但不存在一个实表示与之等价，)(QDQ为群的复表示。则30§21-4时间反演引起的附加简并一、附加简并的一组本征函数（共d个）是其对称性群{Q}的d维幺正不可约表示D(Q)的基函数Hˆ设系统的哈密顿为，已知某一特定能级EiiEHˆdi,2,1jjijiQDQD)()(ˆ31将证明:这一能级的简并度只有d和2d两种可能。可以发生后一种情况，Hˆ没有时间反演对称性时，肯定是前者；当Hˆ当具有时间反演对称性时，在一定条件下，这时时间反演引起了多一倍的附加简并。32附加简并的解释: