复数乘法教学设计教案

数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳第四课时课题复数的乘法教学目标一、教学知识点1.理解并掌握复数乘法的运算法则.2.理解并掌握虚数单位i的运算律，in是周期出现的.3.掌握1的立方虚根ω的运算性质：ω2=,ω3=1,ω2+ω+1=0.4.理解并掌握复数的模与共轭的关系：｜z｜2=z·z=｜z｜2.二、能力训练要求1.能运用乘法运算法则计算有关复数乘法运算的题目.2.会运用in和1的立方虚根ω的运算性质解题.3.灵活运用复数的模与共轭的关系式｜z｜2=｜z｜2=z·z解题，并深化它的应用.三、德育渗透目标1.培养学生分析问题与解决问题的能力，提高学生的运算能力，培养学生实际动手操作（运算、画图）能力.2.培养学生的数形结合、分类讨论、方程、等价转化（实与虚）等数学思想，训练他们的优良的解题方法，培养他们的辩证唯物主义观点，提高学生的科学文化素质（包括数学素质）.3.培养学生的数学新理念、数学与文化的观念，让学生对数学充满兴趣和欢愉.教学重点复数的代数形式、乘法运算法则、in的周期性变化、1的立方虚根ω的性质是本节课教学的重点内容,乘法运算是四则运算的核心部分，是知识之间衔接的桥梁.教学难点复数的代数形式的乘法运算法则的规定、in的周期性规律、ω的性质是教学的难点.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生掌握两个多项式的乘法运算法则，“a+2b”问题的乘法法则的基础上进行大胆的类比和猜想，让学生主动建构复数的代数形式的乘法运算法则.继续让学生建构zz=｜z｜2=｜z｜2和复数乘法运算所满足的交换律、结合律和分配律.教具准备实物投影仪（或幻灯机、幻灯片）.教学过程Ⅰ.课题导入我们已经学习了复数的代数形式的加法（板书）的运算法则和有关的运算律.当时，同学们都说可以把加法运算看作是关于i的多项式的加法合并同类项.这节课我们将学习复数的代数形式的乘法(课题,只要在已板书的基础上进行修改即可,将“加”修改为“乘”，这样既使学生积极回顾了以前所学的内容，同时又使学生对改换后而提出的新问题积极思考，产生强烈的求知欲望，调动学生的积极性，为积极主动建构新知识而作好准备).数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳Ⅱ.讲授新课(一)知识建构［师］初中学习了多项式乘以多项式，你们能把(a+b2)(c+d2)化简吗（a、b、c、d是有理数）？积还是无理数吗？［生］按多项式乘法运算法则展开即可.(a+b2)(c+d2)=ac+ad2+bc2+bd·2·2=(ac+2bd)+(ad+bc)2.∵a、b、c、d∈Q,∴ac,2bd,ad,bc都是有理数.∴ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.而2是无理数，∴（a+b2）(c+d2)是无理数.［师］若将“2”换为“i”，其中i是虚数单位，能化简吗?（a、b、c、d都是实数）［生］可以.∵(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(∵i2=-1,∴才能合并)∵a、b、c、d∈R，∴ac-bd∈R,ad+bc∈R.∴(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.［师］这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则，于是有：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.［师］实数的乘法满足哪些运算律？复数中能类比吗？［生］实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1、z2、z3∈C,有(1)z1·z2=z2·z1,(2)(z1·z2)·z3=z1·（z2·z3）,(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.［师］完全正确，你们能证明吗？请三位同学到黑板上写，其余同学在下面写.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R).［生甲］∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i,z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i,又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1,∴z1z2=z2z1.［生乙］∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i,同理可证z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i,∴(z1z2)z3=z1(z2z3).数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳［生丙］∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i,z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i,∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(学生板演时，教师在教室内巡回指导，与学生共同研究)［师］同学们，这三位同学证明的是否正确？［生］（众生齐声回答）正确！［师］若复数z=a+bi(a、b∈R),求zz.［生］z=a-bi,∴zz=(a+bi)(a-bi)=a2-b·(-b)+［a(-b)+b·a］i=a2+b2+0·i=a2+b2.∴zz=a2+b2.［师］由z·z=a2+b2,你们能想到什么？［生a］a2+b2是z的模的平方，可以得到z·z=｜z｜2.［生b］｜z｜2=z2.［生c］不对.z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,而｜z｜2=a2+b2,∴｜z｜2≠z2.［生d］z的模是22ba,∴zz=a2+b2,也是z的模的平方，即z·z=｜z｜2=｜z｜2.［生e］对于实数a、b,a2+b2在实数范围内不能因式分解，但在复数范围内可以有a2+b2=(a+bi)(a-bi)，其中i是虚数单位.［生f］两个互为共轭的复数之积是一个非负实数.……［师］同学们联想的这些内容都是对的.一般地，两个互为共轭复数z、z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z·z=｜z｜2=｜z｜2.通常也可以写成｜z｜=｜z｜=zz.这个公式很重要，在复数的计算、证明时经常用到，所以我们要熟练地掌握.对于上述命题的逆命题是否成立呢？［生g］成立.因为a2+b2=(a+bi)(a-bi)=z·z.［生h］不成立.也就是两个复数的积是一个非负数，则它们是共轭复数.这是个错误命题.例如，z1=i,z2=-2i,z1z2=i·(-2i)=-2i2=-2×(-1)=2＞0.但z1和z2不是共轭复数.［师］由于复数乘法运算满足交换律与结合律，那么，实数集中正整数指数幂的运算律是否可以推广到复数集中去呢？［生i］实数集中，有am·an=am+n;(am)n=amn;(a·b)m=am·bm.在复数集C中，对任何z、z1、z2数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳∈C,都有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)m=z1m·z2m.［生j］上述推广中幂指数m、n必须满足m、n∈N*.［师］这三条的证明思想是什么？［生k］根据复数乘法运算法则及交换律和结合律可以求证.［生i］也可以使用数学归纳法进行证明.［师］这些思路都是有用的，请同学们课后研究其具体策略.我们知道i1=i,i2=-1,请问i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12分别为什么？［生m］分别是-i,1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,1.［师］从这些数中你能总结出什么规律？［生n］数列｛in｝是周期数列，最小周期是4,即如果n∈N*,我们有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.［师］如果n是整数0时，是否成立？（片刻，学生开始讨论）［生o］成立.因为i4n=i0=1,i4n+1=i1=i,i4n+2=i2=-1,i4n+3=i3=-i,［师］如果n是负整数时，上述结论还成立吗？［生P］不成立.因为i-1没有定义,所以无法推广.［生Q］成立.取n=-m(m∈N),则i4n=i-4m=mi41=11=1,i4n+1=i-4m+1=mii4=1i=i,i4n+2=i-4m+2=mii42=11=-1,i4n+3=i-4m+3=mii43=1i=-i.所以n是负整数时，关于in的结论也成立.［师］由上面讨论,知对一切n∈Z,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i都成立.［师］前面我们证明过：21zz=1z+2z,由这个等式你能类比到乘法上去吗？为什么？［生r］可以类比，对于乘法有21zz=1z·2z.事实上，设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a2、b1、b2∈R)，z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i.∴21zz=iabbabbaa)()(21212121=(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i.又∵1z2z=(a1-b1i)(a2-b2i)=［a1a2-(-b1)·(-b2)］+［a1·(-b2)+(-b1)a2］i数系的扩充与复数的引入备课人：焦阳=(a1a2-b1b2)+(-a1b2-b1a2)i=(a1a2-b1b2)-(a1b2+b1a2)i,∴21zz=1z·2z.［师］这个公式能否推广呢？［生s］可以.z1,z2,…,zn∈C,则nzzz...21=1z·2z·…·zn.［师］z1、z2∈R,｜z1z2｜与｜z1｜·｜z2｜有何关系？为什么？（讨论一会儿，开始写写画画）［生t］｜z1z2｜=｜z1｜·｜z2｜.设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1、a2、b1、b2∈R),∴z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i.∴｜z1z2｜=2212122121)()(abbabbaa=2122222122212221bababbaa.又｜z1｜·｜z2｜=22222121baba=))((22222121baba=2122222122212221bababbaa,∴｜z1z2｜=｜z1｜·｜z2｜.本结论也可以推广到一般形式：z1,z2,z3,…,zn∈C,则｜z1·z2·…·zn｜=｜z1｜·｜z2｜·…·｜zn｜.特殊情况：z1=z2=…=zn=z时，｜zn｜=｜z｜n,即z的乘方的模等于模的乘方.(二)课本例题［例2］（课本P206）计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).［生］解：原式=［(3+8)+(4-6)i］(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=(-22+2)+(11+4)i=-20+15i.［例3］设ω=-21+23i,求证：（1）1+ω+ω2=0；(2)ω3=1.(这题的教法是找两位同学到黑板上板演)［生u］(1)证明：1+ω+ω2=1+(-21+23i)+(-21+23i)2=21+23i+(-