江苏省无锡市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设0ab，则下列各不等式一定成立的是(▲)A．22aabbB．22aabbC．22ababD．22abab2．已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)．若向量a+b与向量c＝(m，2，n)平行，则实数n的值是（▲）A．6B．－6C．4D．－43.已知椭圆C：012222babyax，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（▲）A.18922yxB.1323622yxC.15922yxD.1121622yx4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（▲）A．一鹿、三分鹿之一B．一鹿C．三分鹿之二D．三分鹿之一5.已知等比数列na为单调递增数列，设其前n项和为nS，若22a，73S，则5a的值为（▲）A．16B．32C．8D．416.下列不等式或命题一定成立的是(▲)①lg(x2+41)⩾lgx(x0);②sinx+xsin1⩾2(x≠kπ,k∈Z)；③x2+1⩾2|x|(x∈R);④2322xxy(x∈R)最小值为2.A.①②B.②③C.①③D.②④7．已知关于x的不等式01)2()4(22xaxa的解集为空集,则实数a的取值范围是(▲)A.]56,2[B.)56,2[C.]2,56(D.),2[]2,(8.设nS为数列na的前n项和,满足32nnaS，则6S（▲）A．192B．96C．93D．1899.若正数a、b满足52baab，设babay124，则y的最大值是（▲）A.12B.-12C.16D.-1610．正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则AFAE的值为（▲）A．-2B．4C．2D．111．已知椭圆012222babyax的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得ePFPF21，则该离心率e的取值范围是（▲）A.1,12B.1,22C.12,0D.22,012．当n为正整数时，定义函数nN表示n的最大奇因数。如33N，510N，nNNNNnS2321，则5S（▲）A.342B.345C.341D.346二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．命题p：“0x，都有02xx”的否定：▲.14．不等式31xx的解集是___▲_______．15.已知双曲线22221xyab的离心率为2，焦点与椭圆192522yx的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为▲16．已知1,0,,21baab，那么ba1211的最小值为____▲______三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知等差数列{}na的前n项和为nS，且2552aa，555S.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设131nbann，求数列nb的前n项和Tn.▲▲▲18.（本题满分12分）已知Ra，函数xaxf1.（1）若xxf2对2,0x恒成立，求实数a的取值范围。（2）当a=1时，解不等式xxf2.▲▲▲19.（本题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点0,xyxM到点0,2F的距离减去M到直线1x的距离等于1.(1)求曲线C的方程；(2)若直线2xky与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补.▲▲▲20.（本题满分12分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．⑴．设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；⑵．求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)．▲▲▲21.（本题满分12分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=6，AB=12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O.如图2，点P为BC中点，点E在线段AB上(不同于A,B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB.(1)证明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE=2AE，求二面角C−BQ−A的余弦值。▲▲▲22.（本小题满分12分）已知椭圆C1：012222babyax，F为左焦点，A为上顶点，B(2,0)为右顶点，若ABAF27，抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F．(1)求C1的标准方程；(2)是否存在过F点的直线，与C1和C2交点分别是P，Q和M，N，使得S△OPQ=21S△OMN？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．▲▲▲2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题一、选择题BDABACCDADAA二、填空题13.,0x使得02xx14.0,2115.xy316.10三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知等差数列{}na的前n项和为nS，且2552aa，555S.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设131nbann，求数列nb的前n项和Tn.17.（1）在等差数列{}na中，2552aa，555S，解得3,51da,………………………………………………………………………….3分综上所述，数列{}na的通项公式是23nan……………………………………….5分（2）由(1)知：23nan，又因为131nbann，……………………………………….7分………………………………………………………………..10分综上所述，数列nb的前n项和是46nnTn.………………………………………..10分18.（本题满分12分）已知Ra，函数xaxf1.（1）若xxf2对2,0x恒成立，求实数a的取值范围。（2）当a=1时，解不等式xxf2.18.(1)∵f(x)⩽2x对x∈(0,2)恒成立，∴a⩽x1+2x对x∈(0,2)恒成立，……………………………………………………………….2分∵x0∴x1+2x⩾22，当且仅当x1=2x，即x=22时等号成立，…………………….....4分∴a⩽22…………………………………………………………………………………….....6分(2)当a=1时，f(x)=1−x1，∵f(x)⩾2x，∴1−x1⩾2x，①若x0，则1−x1⩾2x可化为：2x2−x+1⩽0，所以x∈∅；………………………………...8分②若x0，则1−x1⩾2x可化为：2x2−x−1⩾0，解得：x⩾1或x⩽−21，∵x0，∴x⩽−21，………………………………………………………………………….....10分由①②可得1−x1⩾2x的解集为：(−∞,−21]………………………………..…………….....12分19.（本题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C上的动点0,xyxM到点0,2F的距离减去M到直线1x的距离等于1.(1)求曲线C的方程；(2)若直线2xky与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补.19(1)曲线C上的动点M(x,y)(x0)到点F(2,0)的距离减去M到直线x=−1的距离等于1，所以动点M到直线x=−2的距离与它到点F(2,0)的距离相等，故所求轨迹为：以原点为顶点,开口向右的抛物线y2=8x.…………..………………………………………….....4分(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2).联立282xkyxy,得k2x2+(4k2−8)x+4k2=0,(k≠0).……………………………………6分∴△0，222148kkxx,x1x2=4………………………………………………………8分∴直线FA与直线FB的斜率之和=222211xyxy=22222211xxkxxk=)2)(2(2222212121xxxxkxxk=)2)(2(422121xxxxk因为x1x2=4∴直线FA与直线FB的斜率之和为0，……………………………………11分∴直线FA与直线FB的倾斜角互补。……………………………………………………12分20.（本题满分12分）【解】⑴．依题意f(n)＝14．4(0．20．40．6…0．2n)0．9n…………………2分＝14．40．1n(n＋1)0．9n＝0．1n2＋n＋14．4，n∈N*……………………………………………5分(没有定义域扣1分)⑵．设该车的年平均费用为S万元，则有S＝1nf(n)＝1n(0．1n2＋n＋14．4)＝110n＋14．41n＋1………………………………………7分∵n是正整数，故110n＋14．41n＋1≥2．4＋1＝3．4，……………………………10分当且仅当110n＝1n(14．4)，即n＝12时，等号成立．………………………………11分故汽车使用12年报废为宜．……………………………………………………………12分21.（本题满分12分）(1)解法一(几何法)证明：取OO1的中点为F,连接AF,PF;∴PF∥OB，∵AQ∥OB,∴PF∥AQ，∴P、F.A.Q四点共面，又由图1可知OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，又∵OD⊂平面ADO1O，∴PF⊥OD.………………………………………………..2分在直角梯形ADO1O中,..,OF=O1D,∠AOF=∠OO1D,∴△AOF≌△OO1D,∴∠FAO=∠DOO1，∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90∘，∴AF⊥OD.………………………………………………..4分∵AF∩PF=F，且AF⊂平面PAQ，PF⊂平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ.………………………………………………..6分解法二(向量法)由题设知OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).∵点P为BC中点,∴P(0,29,3)，∴OD=(3,0,6),AQ=(0,m,0)PQ=(6,m−29,−3)，…………………………………………………………………………..2分∵OD·AQ=0,OD·PQ=0∴OD⊥AQ,OD⊥PQ且AQ与PQ不共线，……………………………………….4分∴OD⊥平面PAQ.…………………………………………………………………………...6分(2)∵BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=21OB=3，则Q(6,3,0),∴QB=(−6,3,0),BC=(0,−3,6).设平面CBQ的法向量为1n=(x,y,z)，∵0011BCnQBn∴063036zyyx令z=1,则y=2,x=1,则1n=(1,2,1)，…………………………………………………