江苏省扬州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含答案

2019—2020学年度第一学期期末检测试题高二数学2020．1（全卷满分150分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13VSh=，其中S为底面积，h为高．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线28yx=的准线方程是（）A．2x=−B．4x=−C．2y=−D．4y=−2.如果0,0ab，则下列不等式中正确的是（）A．22abB．22ababC．ab−D．||||ab3.已知命题:p双曲线C的方程为2214yx−=，命题:q双曲线C的渐近线方程为2yx=，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.已知23a=+，23b=−，则ab,的等比中项为（）A.2B.1C.1−D.15.不等式102xx−+的解集为（）A．(2,1−B．2,1−C．()).21,−−+D．(),21,−−+6.已知等差数列}{na的公差为2，若134,,aaa成等比数列，则1a等于()A．－4B．－6C．－8D．－107.空间向量(1,0,1)AB=−，平面的一个法向量(0,1,1)n=，则直线AB与平面所成角为（）A．6B．3C．6或56D．3或238.如果关于x的不等式20axbxc++的解集为(1,2)−,则关于x的不等式20bxaxc−−的解集为（）A．(1,2)−B.(,1)(2,)−−+C.(,2)(1,)−−+D.(2,1)−9.已知等差数列}{na的前n项和为nS，若3744aa=−=，，则（）A．46SSB．45SS=C．65SSD．65SS=10.过抛物线24yx=的焦点F的直线交抛物线于,AB两点,点O是坐标原点,若32=AF，则AOB的面积为（）A．22B．2C．322D．2211.已知0x，0y，228++=xyxy，则2+xy的最小值是（）A．3B．2C．322D．412.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，以12FF为直径的圆与一条渐近线交于点P（P在第一象限），1PF交双曲线左支于Q，若12QFPQ=，则双曲线的离心率为（）A．1012+B．10C．512+D．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“xR，2x”的否定是．14.已知数列{}na满足*+1111()nnnNaa−=,1=1a,记+1nnnbaa=，则数列{}nb的前10项和为．15.已知P点是椭圆2214xy+=上的动点，Q点是圆22(2)1xy+−=上的动点，则线段PQ长度的最大值为．16.若关于x的不等式2(2)(410)4120axaxa−+−+−的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知命题p：对任意(0,)x+，不等式1axx+都成立，命题q：方程2212xyamam+=−−−表示焦点在x轴上的双曲线.（1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.18.（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS，且*1+1=1,21()nnaaSnN=+，等差数列{}nb满足39b=，15272bb+=．（1）求数列{},{}nnab的通项公式；（2）设数列{}nc的前n项和为nT，且nnncab=，求nT．19.（本小题满分12分）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCDABCD−中，11ABABO=，1112,AAABABABBC===⊥．（1）求直线1BB与平面1ABC所成的角；（2）若12,1ACBC==，求三棱锥11CABC−的体积．20.（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABCABC−中，12ABBCCAAA====，点O为AB中点，点D为1AA中点．（1）求平面ABC与平面1BCD所成锐二面角的大小；（2）已知点E满足(01)AEAC=，当异面直线DE与1CB所成角最小时，求实数的值．21.（本小题满分12分）已知抛物线C的方程为22(0)ypxp=，直线1:lykxm=+与抛物线C相切于点(6,6)．（1）求p、k、m的值；（2）已知动直线21⊥ll，且2l与抛物线C交于两个不同点,AB，问抛物线上是否存在定点P（异于,AB），使得直线,PAPB的倾斜角互补，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由．22.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，两条准线之间的距离为833，过(1,0)M的直线l交椭圆于,AB两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若OAOB⊥，且直线l与x轴不垂直，求直线l的斜率；（3）设N为直线4x=上任意一点，记直线,,ANMNBN的斜率分别为123,,kkk，判断123,,kkk是否成等差数列，并给出理由．高二数学参考答案第1页（共4页）2019—2020学年度第一学期期末检测试题高二数学参考答案2020．11、A2、B3、A4、D5、C6、C7、A8、C9、B10、C11、B12、A13、xR,14、101115、221+1316.41]3（，17、解：⑴因为对任意(0,)x，不等式1axx成立，所以min1axx………………2分因为(0,)x，所以1122xxxx，当且仅当1x时取等号，…………………4分所以2a；…………………5分⑵因为方程2212xyamam表示焦点在x轴上的双曲线，所以020amam，即2mam，…………………7分因为p是q的必要不充分条件，所以(2)2mm,，且(2)2mm,，…………………9分所以22m，即0m。…………………10分18、解：⑴因为+121nnaS①，所以当2n时，121nnaS②由①—②得+12nnnaaa，即+13(2)nnaan，…………………2分又当1n时，21213aa，所以213aa，因为10a,所以+13,(1)nnana,所以数列{}na是等比数列,所以11133nnnaa…………………5分注：13nna结果对，但是没有验证213aa的扣2分由题意得11129272(4)bdbbd，解得133bd，所以3nbn；…………………8分⑵1333nnnnncabnn1231132333(1)33nnnTnn③23413132333(1)33nnnTnn④③—④得：12312131313133nnnTn1113(13)33133132nnnnnn2x高二数学参考答案第2页（共4页）所以1321344nnnT…………………12分19、解：在平行六面体1111ABCDABCD中，四边形11AABB是平行四边形，又1AAAB，所以四边形11AABB是菱形，所以11ABAB，又因为,1ABBCB,平面1ABC,BC平面1ABC所以平面1ABC，…………………3分所以BO是1BB在平面1ABC上的射影，…………………4分所以1BBO即为所求角（或直线1BB与平面1ABC所成的角）…………………5分在菱形11AABB中，，则13AOBO，在1RtBBO中，1113sin2BOBBOBB，所以直线1BB与平面1ABC所成的角为60.…………………7分⑵在1ABC中，112,1,2ACBCAB，可求得1154ABCS…………………9分在平行六面体1111ABCDABCD中，四边形11BCCB是平行四边形，所以11//BCBC，所以1C到平面1ABC的距离即为1B到平面1ABC的距离，即高为13BO…………………11分所以1111111115533344CABCBABCABCVVSBO.…………………12分20.解：在直三棱柱111ABCABC中，ABBCCA，取11AB中点1O，连1OO，则11//,OOAAABOC，又直三棱柱111ABCABC中，1AA平面ABC，而,ABOC平面ABC，所以11,AAOCAAAB，所以11,OOOCOOAB。以1,,OAOOOC为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，…………………1分则11(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,2,0),(1,2,0),(1,1,0)ABCABD所以1(1,1,3),(1,2,3)(1,0,3)CDCBAC，，⑴因为1AA平面ABC，所以1(0,2,0)n是平面ABC的一个法向量，…………………2分设2(,,)nxyz是平面1BCD的法向量，则130230nCDxyznCBxyz，得2,32xyyz，不妨取2y,则1,3xz,所以2(1,2,3)n是平面1BCD的一个法向量…………………4分1ABBC1AB1AB112AAABAB1A1B1C高二数学参考答案第3页（共4页）所以12121242cos,2||||28nnnnnn，…………………5分所以平面ABC与平面1BCD所成锐二面角的大小为4.…………………6分⑵因为(,0,3),(01)AEAC,所以(,1,3)DEDAAE，则1121(1)cos,||||241DECBDECBDECB，…………………8分设异面直线DE与1CB所成角为，则121coscos,241DECB，令1[1,2]t，则221cos1124(1)125()8()4tttt…………………10分当145t时，cos取得最大值，因为cosy在(0,)2上递减，所以取得最小值，所以此时14.…………………12分21、解：（1）因为点(6,6)在抛物线上，所以3612p，解得3p，…………………2分所以抛物线C的方程为26yx，又点(6,6)在直线ykxm上，所以66km，由2666yxykxk得2636360kyyk，因为直线与抛物线C相切，所以0，解得1,32km所以，13,,32pkm…………………6分（2）方法1：设2221212(,),(,),(,)666yynAyByPn，则“,PAPB倾斜角互补”“0PAPBkk”，即1222221206666ynynyynn，即12660ynyn，即122yyn…………………9分又由2ABk得122212266yyyy，即1262yy，即123yy所以23n，即32n，所以存在定点33(,)82P满足要求…………………12分高二数学参考答案第4页（共4页）方法2：设2:2lyxt，设2221212(,),(,),(,)666yynAyByPn，则“,PAPB倾斜角互补”“0PAPBkk”，即1222221206666ynynyynn，即12660ynyn，即122yyn…………………9分由262yxyxt得2+330yyt，所以123yy所以23n，即32n，所以存在定点33(,)82P满足要求…………………12分22、（1）解：由题意得232433caac，解得23ac，又222abc，所以1b所以，椭圆的方程为22