研究生矩阵论课后习题答案全习题三

百度文库-让每个人平等地提升自我1习题三1．证明下列问题：（1）若矩阵序列mA收敛于A，则TmA收敛于TA，mA收敛于A；（2）若方阵级数0mmmAc收敛，则00)(mmTmTmmmAcAc.证明：（1）设矩阵,,2,1,)()(maAnnmijm则,)()(nnmjiTmaA,)()(nnmijmaA,,2,1m设,)(nnijaA则nnjiTaA)(，,)(nnijaA若矩阵序列mA收敛于A，即对任意的nji,,2,1,，有ijmijmaa)(lim，则jimjimaa)(lim，ijmijmaa)(lim，nji,,2,1,，故TmA收敛于TA，mA收敛于A.(2)设方阵级数0mmmAc的部分和序列为,,,,21mSSS，其中mmmAcAccS10.百度文库-让每个人平等地提升自我2若0mmmAc收敛，设其和为S，即SAcmmm0，或SSmmlim，则TTmmSSlim.而级数0)(mmTmAc的部分和即为TmS，故级数0)(mmTmAc收敛，且其和为TS，即00)(mmTmTmmmAcAc.2.已知方阵序列mA收敛于A，且1mA，1A都存在，证明：（1）AAmmlim；（2）11limAAmm.证明：设矩阵,,2,1,)()(maAnnmijm,)(nnijaA若矩阵序列mA收敛于A，即对任意的nji,,2,1,，有ijmijmaa)(lim.(1)由于对任意的njjj,,,21，有,lim)(kkkjmkjmaank,,2,1，故nnnjjjmnjmjmjjjjmaaa2121)()(2)(1)()1(lim＝nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1(，而nnnjjjmnjmjmjjjjmaaaA2121)()(2)(1)()1(，百度文库-让每个人平等地提升自我3nnnjjjnjjjjjjaaaA21212121)()1(,故AAmmlim.(2)因为nnmijmmAAA)(1)(1，nnijAAA)(11.其中)(mijA，ijA分别为矩阵mA与A的代数余子式.与（1）类似可证明对任意的nji,,2,1,，有ijmijmAA)(lim，结合AAmmlim，有nnmijmmAA)(1lim)(＝nnijAA)(1，即11limAAmm.3.设函数矩阵3201sincossin)(ttettttttAt，其中0t，计算),(),(lim0tAdtdtAt),(22tAdtd,)(tAdtd)(tAdtd.解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有百度文库-让每个人平等地提升自我4（1）001011010lim0lim1limlimlimsinlimlimcoslimsinlim)(lim300020000000ttettttttAttttttttttt；（2）22323002sincos1sincos)(01)()()sin()(cos)(sin)(ttettttttttettttttAdtdtt；（3）tetttttttAdtddtdtAdtdt6002cos2sin)2(0cossin))(()(222；（4）)(tAdtd3201sincossinttetttttt)2cos2(sin)sincos2(]1)cos(sinsin3[32tttttttttttttet（5）)(tAdtd＝223002sincos1sincosttettttttt)sincos(sin3cos32tttttett.4．设函数矩阵00302)(222xeexxeexAxxxx，计算10)(dxxA和20)(xdttAdxd.解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有百度文库-让每个人平等地提升自我5（1）10)(dxxA＝00302101021010210102xdxdxedxedxxdxxedxexxxx0023011311)1(21212eee；（2）20)(xdttAdxd＝)(22xxA＝00302224222222xeexexexxxx.5.设,))(,),(),((21TntytytyyA为n阶常数对称矩阵，AyyyfT)(，证明：（1）dtdyAydtdfT2；（2）dtdyyydtdT222.证明：（1）yAyAyyAyydtdfTTT)()(yAyAyyTTT))((yAyT2dtdyAyT2，（2）dtdyyyydtdydtdTT2)(22.6.证明关于迹的下列公式：（1）XXXtrdXdXXtrdXdTT2)()(；（2）TTTBBXtrdXdBXtrdXd)()(；（3）XAAAXXtrdXdTT)()(.其中mmijmnijnmijaAbBxX)(,)()(.百度文库-让每个人平等地提升自我6证明：（1）因为minjijTTxXXtrXXtr112)()(，而ijminjijijxxx2)(112，故XXXtrdXdXXtrdXdTT2)()(（2）因为nnmkkjikxbBX)(1，则njmkkjjkTTxbBXtrBXtr11)()(，而jinjmkkjjkijbxbx)(11，故TTTBBXtrdXdBXtrdXd)()(.(3)因为,212221212111mnnnmmTxxxxxxxxxX百度文库-让每个人平等地提升自我7mkknmkmkkmkmkkmkmkknkmkkkmkkkmkknkmkkkmkkkxaxaxaxaxaxaxaxaxaAX112111212211211121111故)()()()(11ln111111mlmkknlkmlmkkjlkljmlmkklklTxaxxaxxaxAXXtr则))(()(11mlmkkjlkljijTijxaxxAXXtrx)]([111mkkjlkijljmkkjlkijljmlxaxxxaxxmlljlimkkjikxaxa11故XAAXAAXAXXtrdXdTTT)()(.7．证明：TTTTTTdXdbadXdabbadXd)(，其中)(),(XbXa为向量函数.证明：设TmTmXbXbXbXbXaXaXaXa))(,),(),(()(,))(,),(),(()(2121，则百度文库-让每个人平等地提升自我8miiiTXbXaXbXa1)()()()(，故它是X的数量函数，设)()()(XbXaXfT，有),,,())()((21nTTxfxfxfXbXadXdminiiinimiiiiixXbXaXbxXaxXbXaXbxXa1111)()()()(,,)()()()(miinimiiimiiiXbxXaXbxXaXbxXa11211))()(,,)()(,)()(())()(,,)()(,)()((11211miniimiiimiiixXbXaxXbXaxXbXaTTTTdXdbadXdab.8.在2R中将向量Txx),(21表示成平面直角坐标系21,xx中的点Txx),(21，分别画出下列不等式决定的向量Txxx),(21全体所对应的几何图形：(1),11x(2)，12x(3)1x.解：根据,1211xxx,122212xxx1,max21xxx，作图如下：百度文库-让每个人平等地提升自我99.证明对任何nCyx,，总有)(212222yxyxxyyxTT.证明：因为yyxyyxxxyxyxyxTTTTT)()(22yyxyyxxxyxyxyxTTTTT)()(22故xyyxyxyxTT)(21222210.证明：对任意的nCx，有12xxx.证明：设Tnxxxx),,,(21，则nnnxxxxxxxxxxxx21122221221,,,,,max由于22122221221)(),,,(maxnnnxxxxxxxxx，故21222xxx，即12xxx.11.设naaa，,,21是正实数，证明：对任意nTnCxxxX),,(21，，2112niiixaX百度文库-让每个人平等地提升自我10是nC中的向量范数.证明：因为（1）,02112niiixaX且00XX；（2）XkxakxakkxakXniiiniiiniii2112211222112；（3）对于nTnCyyyY),,(21，，TnnyxyxyxYX),,(2211，，则21212122)(2YXYXyaxayxaYXniiiniiiniiii故YXYX.因此2112niiixaX是nC中的向量范数.12.证明：ijnjianA,1max是矩阵nnijaA)(的范数，并且与向量的1－范数是相容的.证明:因为(1)0max,1ijnjianA,且OA0A;(2)AkankkankAijnjiijnji,1,1maxmax;(3)BAbnanbanBAijnjiijnjiijijnji,1,1,1maxmaxmax(4)设TnxxxX),,,(21,则百度文库-让每个人平等地提升自我11TnjjnjnjjjnjjjxaxaxaAX),,,(11211，故njjnjnjjjnjjjxaxaxaAX11111njjnjnjnjjjnjnjjjnjxaxaxa11121111maxmaxmax11,1maxXAxannjjijnji因此ijnjianA,1max是与向量的1－范数相容的矩阵范数.13.设nnCA，且A可逆，证明：11AA.证明:由于IAA1,1I,则111AAAAI,故11AA.14.设nnCA，且,1A证明：AI可逆，而且有（1）AAI11)(1；（2）AAIAI1)(1.证明:(1)由于百度文库-让每个人平等地提升自我12AAIIAI11)()(,故AAIIAAIIAI111)()()(,即AAI11)(1.(2)因为AIAI)(,两边右乘1)(AI,可得11)()(AIAAII,左乘A,整理得11)()(AIAAAAIA