学习群论后的体会

学习群论后的体会群论是数学的一个重要分支，它在很多学科都有重要的应用。这门课的目的是为了使学生对群论的基本理论有感性的认识和理性的了解。这门课主要介绍了群论的基本理论及某些应用。主要内容有：首先介绍群、子群、群同构的概念及有关性质，这是了解群的第一步。然后较为详细地讨论了两类最常见的群：循环群与置换群，包括一些例题和练习，可以熟悉群的运算和性质，加深对群的理解。并且介绍置换群的某些应用。然后对群论中某些重要的概念作详细讨论。首先定义并讨论群的子集的运算；由群的子集的运算，引出并讨论了子群的陪集的概念与性质。定义并讨论了正规子群与商群的概念与性质。借助于商群的概念证明了群同态基本定理，从而对群的同态象作出了系统的描述。这部分内容是群论中最基本的内容，并且给出群的直积的概念，这是研究群的结构不可缺少的工具。最后是群表示论的基本理论及应用。利用群的子群研究群的性质与结构是群论研究的一个常用方法.正规子群是群论中的一个核心概念,它在群论研究中起着极其重要的作用,它的重要性在于由它及群G本身可得到阶比|G|小且与G的运算密切相关的一个新的群。群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段。同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构。而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系。特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构。在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态。保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的去研究它们。另外，群的自同构和自同态也是研究群的重要手段。群在集合上的作用及群作用是研究有限群的一个有效工具，其中有Sylow定理的证明使用的是群在集合上的作用这一有效工具来证明的，Sylow定理是有限群研究的基石，不仅指出了一类子群的存在性,还讨论了这类子群的一些性质，还提供了群的算术性质和结构性质之间的精巧联系,它是有限群最基本的结果之一。Sylow定理在有限群的单性、可解性、幂零性等许多方面都有着广泛的应用。因而Sylow定理作为研究群论特别是有限群的重要工具,因此对Sylow定理的深刻理解对从事有限群论的研究有着重要的意义。群论思想的产生和发展对数学产生的重大的影响,群论也是关于运算及运算规则的研究,但它是关于一般的元素集合上的运算和运算规则的研究,使得新的数学对像如矩阵,变换等的运算有了理论依据,从而把数学理论抽象到新的层次.