第1页共3页解三角形专题2三角形解的个数问题A为锐角A为钝角或直角图形关系AbsinAA=bsinAbsinAaba≥ba≤b解的个数无解一解两解一解无解1已知下列三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,并指出有几解?(1)78105a,b,A(2)102080a,b,A(3)105660b,c,C(4)23630a,b,A答案:(1)90A而ab,故无解(2)90A,absinAb,故有无解(3)cb,故有一组解(4)90A,bsinAab,故有两组解2在△ABC中,A=45°,AB=3,则“BC=2”是“△ABC只有一解且C=60°”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既为充分也不必要条件另解法法1:大角对大边在已知ABC中的边长a,b和角A,且已知a,b的大小关系,常利用正弦定理结合“大边对大角”第2页共3页来判断三角形解的个数,一般的做法如下,首先利用大边对大角,判断出角B与角A的大小关系,然后求出B的值,根据三角函数的有界性求解.【例1】在ABC中,已知3a,2b,45B,求A、C及c.解:由正弦定理,得sin3sin453sin22aBAb,∵4590B,ba,∴60A或120.当60A时,75C,sin2sin7562sinsin452bCcB;当120A时,15C,sin2sin1562sinsin452bCcB.点评:在三角形中,sinsinabABAB这是个隐含条件,在使用时我们要注意挖掘.法2:二次方程的正根个数一般地,在ABC中的边长a,b和角A,常常可对角A应用余弦定理,并将其整理为关于c的一元二次方程2222cos0cbcAba,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数解,则该三角形有一解;若方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解.【例2】如图,在四边形ABCD中,已知ADCD,10AD,14AB,60BDA,135BCD,求BC的长.解:在ABD中,设BDx,由余弦定理得2221410210cos60xx,整理得210960xx,解得16x.由正弦定理,得sin16sin3082sinsin135BDCDBBCBCD.点评:已知三角形两边和其中一边的对角,我们可以采用正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷.法3:画圆法已知ABC中,A为已知角(90),先画出A,确定顶点A,再在A的一边上确定顶点C,使AC边长为已知长度,最后以顶点C为圆心,以CB边长为半径画圆,看该圆与A的另一边是否有ABCD第3页共3页交点,如果没有交点,则说明该三角形的解的个数为0;若有一个交点,则说明该三角形的解的个数为1;若有两个交点,则说明该三角形的解的个数为2.【例3】在ABC中,60A,6a,3b,则ABC解的情况()(A)无解(B)有一解(C)有两解(D)不能确定解:在A的一边上确定顶点C,使3ACb,作60CAD,以顶点C为圆心,以6CBa为半径画圆,看该圆与AD没有交点,则说明该三角形的解的个数为0,故选A.AbCaD