高中数学-第三章3.6直线与平面、平面与平面所成的角课件-湘教选修21

3．6直线与平面、平面与平面所成的角3.6课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标1.能用向量方法解决直线和平面所成角的计算问题．2．理解二面角的概念．3．能够利用向量方法解决平面与平面所成角的问题．课前自主学案温故夯基1．两条异面直线所成的角的范围是(0，π2]．2．直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的______所成的角，其范围是[0，π2]．3．若l⊥α，则直线l的方向向量就是α的法向量．射影知新益能1．直线与平面所成角的求法设直线l与平面α所成角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n所成的角为θ1.则sinθ＝|cosθ1|＝|n·a||n||a|.思考感悟1．直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面法向量所成角互余吗？提示：不一定．2．二面角的相关概念(1)半平面：在一个平面内作一条直线，则这条直线将平面分成两部分，其中__________都称为半平面．(2)二面角：从一条直线l出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记为_________.这条直线l称为二面角的_____，半平面α，β都称为这个二面角的面．每部分α－l－β棱(3)二面角的平面角：过二面角α－l－β的棱l上任意一点O作_______棱l的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA，OB，则∠AOB称为二面角α－l－β的平面角．二面角的范围是0°～180°.(4)度量：二面角的大小用它的_______度量．垂直于平面角思考感悟2．如何正确认识二面角？提示：(1)二面角是一个空间图形，它是由两个半平面和一条直线构成的图形，可以类比平面内的角．(2)符号α－l－β表示以l为棱，α、β为两个半平面的二面角．(3)两个平面相交，可以构成四个二面角．(4)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫作二面角α－l－β的平面角．3．二面角与平面法向量的关系设两平面α，β所成角为θ，平面α、β的法向量分别为n1、n2，n1与n2所成的角为θ1.则θ与θ1的关系为：θ＝θ10≤θ1≤π2π－θ1π2θ1≤π，即|cosθ|＝|n1·n2||n1|·|n2|.课堂互动讲练考点一求直线与平面所成的角考点突破利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB→；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝|n·AB→||n|·|n·AB→|.例1正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．【思路点拨】利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连接C1M，证明∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．【解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，2a)，C1(－32a，a2，2a)，法一：取A1B1的中点M，则M(0，a2，2a)，连接AM、MC1，有MC1→＝(－32a,0,0)，AB→＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a)．∴MC1→·AB→＝0，MC1→·AA1→＝0，∴MC1→⊥AB→，MC1→⊥AA1→，即MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．由于AC1→＝(－32a，a2，2a)，AM→＝(0，a2，2a)，∴AC1→·AM→＝0＋a24＋2a2＝9a24，|AC1→|＝3a24＋a24＋2a2＝3a，|AM→|＝a24＋2a2＝32a，设AC1→与AM→所成的角为θ，∴cosθ＝9a243a×3a2＝32.∴θ＝30°.即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.法二：AB→＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a)，AC1→＝(－32a，a2，2a)．设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，∴n·AB→＝0且n·AA1→＝0.∴ax＝0且2ay＝0.∴x＝y＝0，故n＝(λ，0,0)．∵AC1→＝(－32a，a2，2a)，设AC1→与n所成角为θ1，∴cosθ1＝n·AC1→|n||AC1→|＝－3λa2·3|λ|a＝±12，∴sinθ＝|cosθ1|＝12，θ＝30°.∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.【名师点评】在解答本题过程中，易出现所求角为150°的错误，导致该种错误的原因是忽视了直线与平面的法向量的夹角和直线与平面夹角的区别．自我挑战1如图，在体积为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，求直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：由题意，可得VABCA1B1C1＝CC1·S△ABC＝CC1·12·AC·BC＝12CC1＝1，∴CC1＝2.如图，分别以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，得点B(0,1,0)，C1(0,0,2)，A1(1,0，2)，则A1B→＝(－1,1，－2)，平面BB1C1C的法向量为n＝(1,0,0)．设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为θ，A1B→与n的夹角为φ，则cosφ＝A1B→·n|A1B→|·|n|＝－66，∴sinθ＝|cosφ|＝66.即直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值是66.考点二求平面与平面所成的角利用向量法求二面角的步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小．(2010年高考天津卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明：AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1EDF的正弦值．例2【思路点拨】解答本题首先建立空间坐标系，写出一些点的坐标，再利用向量法求解．【解】如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E()1，32，0.(1)易得EF→＝()0，12，1，A1D→＝(0,2，－4)，于是cos〈EF→，A1D→〉＝EF→·A1D→|EF→||A1D→|＝－35.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为35.(2)证明：易知＝(1,2,1)，＝－1，－32，4，＝－1，12，0，于是·＝0，·＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，则u·EF→＝0，u·ED→＝0，即12y＋z＝0，－x＋12y＝0.不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，由(2)可知，AF→为平面A1ED的一个法向量，于是cos〈u，AF→〉＝u·AF→|u||AF→|＝23，从而sin〈u，AF→〉＝53.所以二面角A1­ED­F的正弦值为53.【名师点评】自我挑战2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)求二面角AA1CB的余弦值．解：(1)证明：∵三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.在△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠ABC＝60°，由正弦定理得∠ACB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，A1(0,0，3)，∴AB→＝(1,0,0)，A1C→＝(0，3，－3)．∴AB→·A1C→＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0，∴AB⊥A1C.(2)可取m＝AB→＝(1,0,0)为平面AA1C的法向量，设平面BA1C的法向量为n＝(l，m，n)，则BC→·n＝0，A1C→·n＝0，又BC→＝(－1，3，0)，∴－l＋3m＝0，3m－3n＝0，∴l＝3m，n＝m，不妨取m＝1，则n＝(3，1,1)．cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝3×1＋1×0＋1×012＋02＋02×32＋12＋12＝155.∴二面角A­A1C­B的余弦值为155.考点三向量法求夹角的综合应用例3如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A1B1的中点．(1)求异面直线AE与BF所成角的余弦值；(2)求平面BDF与平面A1B所成二面角(锐角)的余弦值；(3)求直线AB与平面BDF夹角的正弦值．【思路点拨】所给图形是长方体，“垂直”关系明显，可建立空间直角坐标系，利用向量法求解．【解】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，以AB、AD、AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．由已知AB＝2，AA1＝1，可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，F(1，0,1)，又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角即为∠DBA＝30°，又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝233，从而易得E(12，32，0)，D(0，233，0)．(1)∵AE→＝(12，32，0)，BF→＝(－1,0,1)，∴cos〈AE→，BF→〉＝AE→·BF→|AE→||BF→|＝－122＝－24.即异面直线AE、BF所成角的余弦值为24.(2)易知平面A1B的一个法向量m＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)是平面BDF的一个法向量．又BD→＝(－2，233，0)，由n⊥BF→n⊥BD→，⇒n·BF→＝0n·BD→＝0，⇒－x＋z＝0－2x＋233y＝0，⇒x＝z3x＝y，取n＝(1，3，1)，∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝31×5＝155.即平面BDF与平面A1B所成二面角(锐角)的余弦值为155.(3)∵AB→＝(2,0,0)，平面BDF的一个法向量为n2＝(1，3，1)，∴cosAB→，n2＝AB→·n2|AB→||n2|＝2＋0＋02×5＝55.设直线AB与平面BDF的夹角为β，则sinβ＝|cosAB→，n2|＝55.即直线AB与平面BDF夹角的正弦值为55.【名师点评】无论直线与直线的夹角，平面与平面的夹角，还是直线与平面的夹角，夹角的范围都是[0，π2]，所以夹角的正弦值或余弦值都是非负值．1．利用空间向量求线线角、线面角的关键是转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角，通过数量积求出，通常方法分为两种：坐标方法、基向量方法，解题时要灵活掌握．2．利用向量方法求二面角的方法分为二类：一类是找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大小；另一类是利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求．后一类需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系．方法感悟