圆锥曲线轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：1、必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为21，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课本P144B组2：已知点M(x,y)与两个定点21,MM的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1，与m1进行讨论）2、必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆1)1(22yx上运动，求AB的中点M的轨迹。（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为32。（1）求圆心的P的轨迹方程；（2）若P点到直线xy的距离为22，求圆P的方程。如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=22)4(yx所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=20,241yyx,代入方程x2+y2－4x－10=0,得244)2()24(22xyx－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线42:xyl．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围．（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A，且在y轴上截得弦MN的长为8.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点)0,1(B，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点QP,，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点。二、椭圆类型：MBA3、定义法：（选修2-1P50第3题）点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线8x的距离之比为21，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）4、圆锥曲线第一定义：（选修2-1P50第2题）一个动圆与圆05622xyx外切，同时与圆091622xyx内切，求动圆的圆心轨迹方程。5、圆锥曲线第一定义：点M(00,yx)圆1F9)1(22yx上的一个动点,点2F（1,0）为定点。线段2MF的垂直平分线与1MF相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点2F（1,0）在圆内)6、其他形式：（选修2-1P50例3）设点A,B的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率的乘积为94，求点M的轨迹方程:（是一个椭圆）（讨论当他们的斜率的乘积为94时可以得到双曲线）（2013新课标1卷20）已知圆:M1)1(22yx，圆:N9)1(22yx，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。（1）求C的方程；（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于BA,两点，当圆P的半径最长时，求AB（2013陕西卷文20）已知动点),(yxM到直线4:xl的距离是它到点)0,1(N的距离的2倍。（1）求动点M的轨迹C的方程（2）过点)3,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率。三、双曲线类型：QF1F2MQF1F2MMF1F28、圆锥曲线第一定义：点M(00,yx)圆1F1)1(22yx上的一个动点,点2F（1,0）为定点。线段2MF的垂直平分线与1MF相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点2F（1,0）在圆外)定义法：（选修2-1P59例5）点M(x,y)与定点F(5，0)的距离和它到定直线516x的距离之比为45，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)四、抛物线类型：10、定义法：（选修2-1）点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线2x的距离相等，求点M的轨迹方程。（或：点M(x,y)与定点F(2，0)的距离比它到定直线3x的距离小1，求点M的轨迹方程。）（2013陕西卷文20）已知动点),(yxM到直线4:xl的距离是它到点)0,1(N的距离的2倍。（1）求动点M的轨迹C的方程（2）过点)3,0(P的直线m与轨迹C交于BA,两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率已知三点(0,0)O，(2,1)A，(2,1)B，曲线C上任意一点(,)Mxy满足||()2MAMBOMOAOB。（1）求曲线C的方程；）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（辽宁）如图，椭圆0C：22221(0xyabab，a，b为常数)，动圆22211:Cxyt，1bta。点12,AA分别为0C的左，右顶点，1C与0C相交于A，B，C，D四点。(Ⅰ)求直线1AA与直线2AB交点M的轨迹方程;（四川）如图，动点M到两定点(1,0)A、(2,0)B构成MAB，且2MBAMAB，设动点M的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设直线2yxm与y轴交于点P，与轨迹C相交于点QR、，且||||PQPR，求||||PRPQ的取值范围。1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A1、A2是椭圆4922yx=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A.14922yxB.14922xyC.14922yxD.14922xy二、填空题3.(★★★★)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－2a,0),C(2a,0)，且满足条件sinC－sinB=21sinA,则动点A的轨迹方程为_________.4.(★★★★)高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222byax=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.8.(★★★★★)已知椭圆2222byax=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴300xyxxyy∵A2、P2、P共线，∴300xyxxyy解得x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得二、3.解析：由sinC－sinB=21sinA,得c－b=21a,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222axayax.答案：)4(1316162222axayax4.解析：设P(x,y），依题意有2222)5(3)5(5yxyx,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.答案：4x2+4y2－85x+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为728122yx=1(y≠0)6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).由条件yaxyaxxxaxyaxyaxyaxy220000000)(11得而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.即b2(－x2)－a2(yax22)2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a).8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又221010yycxx得x1=2x0－c,y1=2y0.∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)(2)如右图，∵S△AOB=21|OA|·|OB|·sinAOB=22asinAOB当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为21a2.此时弦心距|OC|=21|2|kak.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，.33,2245cos1|2|||||2kkaakOAOC专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1．如图1，ABC中，已知(2,0)B，(2,0)C，点A在x轴上方运动，且tantan2BC，则顶点A的轨迹方程是．2．如图2，若圆C：22(1)36xy上的动点M与点(1,0)B连线BM的垂直平分线交CM于点G，则G的轨迹方程是．3．如图3，已知点(3,0)A，点P在圆221xy上运动，AOP的平分线交AP于Q，则Q的轨迹方程是．4．与双曲线2222xy有共同的渐近线，且经过点(2,2)的双曲线方程为．5．如图4，垂直于y轴的直线与y轴及抛物线22(1)yx分别交于点A、P，点B在y轴上，且点A满足||AB2||OA，则线段PB的中点Q的轨迹方程是．几种常见求轨迹方程的方法：1．直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨