第二章--粘性流体动力学基本方程组

第二章粘性流体动力学基本方程组流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。这三大定律对流体运动的数学描写就是流体动力学基本方程组。但这个方程组是个不封闭的，要使其封闭还需要加上辅助的物性关系，如密度、比热、粘性系数和热传导系数随温度和压力的变化关系等。一般情况下，现在还求不出这个方程组的解析解，但研究这个方程组的性质却具有极其重要的意义，因为千变万化的流动现象毕竟是由这个方程组所规定的。本书的全部内容实质上就是在各种具体条件下用各种不同的方法以不同的近似程度求解这个方程组，研究解的性质。本章将较深入地阐述粘性在动量平衡和能量平衡中所起的作用。这主要是指粘性对动量和能量的输运以及由粘性引起的能量耗散。除边界条件外，这些项的存在是粘流与无粘流的根本差别。粘性流动的一个基本特征是流动的有旋性。用量纲理论研究这一方程组，导出一些重要相似参数，则是本章另一部分内容。本章最后将讨论这一方程组的数学性质。对流体运动的描述有两种基本方法，即拉格朗日法和欧拉法；对基本定律的数学表述也有两种基本形式，即积分形式和微分形式。本书将以欧拉法和微分形式为主，间或采用拉格朗日法和积分形式。现用欧拉法研究守恒定律。考虑流体流过一个小的、不动的控制体，将此控制体简写为CV。则对任何量q的守恒定律可表述为：q在CV中的增加率=q从CV表面的进入率-q从CV表面的流出率+q在CV内的源和汇产生的总净增率当控制体CV的体积均匀趋于零时所得到的方程就是量q在固定点用欧拉方式表示的守恒方程，原则上控制体CV可以是任何形状，我们这里采用笛卡尔坐标，用矩形六面体表示，这不会影响所得结果的一般性。§2-1质量守恒定律——连续方程连续方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。由于不涉及力的问题，所以粘性流体与非粘性流体的连续方程完全相同，在非粘性流体中所做的推导和讨论在这里全部有效。当控制体各向均匀收缩到无限小时，该控制体称为微元体。考虑具有相互垂直侧面的微元体，其边长分别为dx，dy和dz（图2.1.1）。若将q定为质量(即q=质量=密度×容积)，则可得到连续方程。在微元体内，质量没有源或汇，则此方程可表述为：质量通过边界出入该微元体的净增率等于流体质量在该微元体内的增加率。为做出定量的表述，首先计算通过该微元体两平行面之间有关物理量的增量。设速度矢量为u，它在x、y和z方向的分量分别为u，v和w。222(d)d2!uuxuxxx则在右侧面中点处的速度分量为,,d,dddxyzxyzQxuuxx当微元体在和向都无限缩小则和的高阶项都可忽略,于是点处向的速度分量可表示为()d,()ddddd()()ddddddddQuuxxQuuxyzxPuyzxuuuxyzuyzxyzxx同样,在点单位面积的质量流率可表示为同样流体通过以点为中心的微元面流出微元体的质量流率为+由于流体通过以点为中心的微元面进入微元体的质量流率为因此,方向的速度分量输运出微元体的净质量流率为+现用变量依次轮换法(即x→y→z和u→v→w)，可以容易得出通过另外两对微元面的净质量流率，即y方向的速度分量输运出微元体的净质量流率为()ddd()dddvyzxywzxyz而z向侧为ddd(ddd)dddddd()()()0()0xyzxyzxyzttxyzuvwtxyzut在此固定的微元体内流体的质量随时间的增加率为根据质量守恒定律,由微元体表面流出的质量流率应等于微元体内质量的负增加率,则将有关各项除以后,可得此即三维可压缩流的连续方程.此式也可用算符表示,即div()0()0,()0div()0iiiiututxuxu或根据散度的定义,此式也可写为按取和约定,连续方程可表示为对于定常流此式成为或此式表示通过微元体表面流出和流入微元体的质量流量的总和为零,所以微元体内的密度不随时间变化.0iiiiuxux对于不可压流,连续方程成为由前述可知,是应变变化率张量主对角线上三元素之和,为一不变量,表示微元体体积的变化率.此变化率为零表示微元体体积不变,这正是不可压缩流体的特征.§2-2粘性流体的运动方程——动量守恒定律粘性流体的运动方程是动量守恒定律对于粘性流体运动规律的数学表述，它可由牛顿第二定律推出。以微元体为分析对象则可表述为：在惯性系中，流体微元体的质量与加速度的乘积等于该微元体所受外力的合力。对于流体运动应考虑两类外力：一为彻体力，它是作用在微元体内所有质量上的力，如重力：另一类为表面力，它是作用在微元体界面上的力，如压力，摩擦力等。若F表示作用在单位质量上的彻体力，P表示作用在单位容积上的表面力，则运动方程可写为如下向量形式：DuFPDt()()iiDuuDttxtDuuDtDuuuuDtt其中微分符号称为物质导数或随体导数,它所代表的是微团的某性质对时间的变化率.例如,是该微团的速度随时间的变化率,即加速度,亦即从欧拉法的观点看，此式右端第一项由流动的非定常性引起，称为当地加速度；右端第二项由流场中速度分布的不均匀性引起，表示经Dt时间后由于微团空间位置的变化而引起的速度的变化，称为迁移加速度或对流加速度。式中的彻体力可用三个分量表示，即xyzFFiFjFkyxxzxxxyyzyyyzxzzzPDuFDtxyzDvFDtxyzDwFDtxyz将此式和表面力的公式则得此方程是牛顿第二定律的严格表述,未引入任何假设.若把彻体力看成已知,则此方程引入的表面应力张量的诸分量是未知的.(1.7.20)(1.7.21)D2D2(div)3D2DxyupuuvFtxxxyyxuwuzzxxvpuvvFtyxyxyyvwzzy将和引入上式可得2(div)3DD22(div)3zuywpuwvwFtzxzxyzywuzzz这就是粘性流体的运动方程,即纳维-斯托克斯方程.一般情况下μ是温度的函数,所以方程很复杂.对于常用的情况,可以不考虑μ随空间位置的变化,于是μ可作为常量而写到导数之外.考虑到这一点,可以将方程进一步改写.对方程的第一个式子可写为2222222222222DD3(div)3d1()d3.xxupuuuFtxxyzuvwxxyxzpFuuxxuFpuutNS其中为拉普拉斯算子.上式也可写为矢量形式.此式即为方程矢量式222d1()()()d212211()23,0,2iiiiiiuuuuuuuutttuuuuuuuttuuuuFpuutuuuuut由于所以N-S方程式又可写为对不可压缩流体由于所以上式又可写为21Fpu它们通常称为葛罗米柯-兰姆型运动方程,其中为涡量.粘性流体运动方程与理想流体运动方程相比,粘性流体运动方程增加了粘性应力项.2.2.1,,,22div3.yyxyyFABpABpvupy以图所示的以不同流速运动的两微元体为例,对于理想流体,通过界面,微元体只对微元体作用了压力;而对于粘性流体,除正应力外微元体还对微元体作用了粘性切应力而且正应力的大小也不等于压力由公式(1.7.14)可见这些就是粘性引起的差别应当指出，尽管在粘性流体中几乎处处存在粘性应力，但并不是在任何地方它都重要。由公式（2.2.6）或(2.2.8)可见，只在速度梯度变化剧烈的地方粘性应力才起重要作用。这一点很重要，它是边界层理论赖以建立的一个基本事实，对此，还要在第五章中进一步讨论。§2-3粘性流体的能量方程1.动能方程22212,D11D2xyxxzxyzyxyyzzyzxzijiiixiiixjuvwuFvFwFutxyzvwxyzxyzuuuFuuFtx将式(2.2.5)的三个分量分别乘以对应的分速度后相加,可得DD采用取和约定则上式可记为1jiiijux(),()()D111D2()()11iijijiiiijijjjijijijjiijiiiiiiixijijjjjjjiijiiiiixjiijuuuxxxmpmumpuuupuuuFtxxxxmumpuuupuFxxxx注意和式则此式可写成上式左端是单位质量流体动能的物质导数，表示流体微团单位质量的动能随时间的变化率。右端第一项是单位时间内彻体力对单位质量所做的功。右端第二项是单位时间内粘性力对运动着的单位质量流体所输运的机械能。右端第三项是单位时间内压力对单位质量的流体所做的功，即流动功。右端第四项中的是体积膨胀率（§1-5），它与压力p的乘积代表单位时间的膨胀功。右端第五项是单位时间内粘性力所做的变形功。它把流体运动的机械能不可逆地转换为热能而消耗，故称为耗散项。iiux22233211212133222223312121231232122div3223ijijijijmsuumxuuuuuuxxxxxxuuuuuuxxxxxxux将式代入此项则得耗散函数222331122133222233121212132323,uuuuuxxxxxuuuuuuxxxxxx由此式可见耗散项总是正的.它属于源项(对机械能而言它是负的能源).对于层流运动，只在边界层内靠近壁面处有大的速度梯度，因而产生大的耗散，而在其它区域耗散则很小。对于湍流运动，则不仅在边界层内紧靠壁面处，而且在两个很靠近的旋涡之间都可以有很大的应变变化率，因而产生大的耗散。根据以上分析，可对式(2.3.1a)归结如下：流体微团运动能的变化率取决于单位时间内彻体力所作之功、通过粘性力和压力与相邻微团的机械能交换、膨胀功以及粘性力对机械能的耗散等因素。,,2,(2.3.1)()()D1122D2ijijijijiiiiixiijijjimmsasupuuuuFsstxx对于不可压缩流体膨胀功为零且粘性应力张量可由式表示于是动能方程成为2.内能方程DD.eetQ如代表单位质量流体的内能,则单位时间单位体积中微团内能的增量为此能量的增量来自三个方面:第一来自吸收热辐射,化学反应及燃烧等产生的外加热.记单位时间内由此加给单位质量