圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPB，求|AB|．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A(0，－2)，椭圆E：22221xyab(ab0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)Cxymm,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线,0ykxaa交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213xyt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，AMAN时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2AMAN时，求k的取值范围.8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C22:12xy上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x上，且1OPPQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC：交于A，B两点，线段AB的中点为10Mmm，．（1）证明：12k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且0FPFAFB．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．11．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）设椭圆22:12xCy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,AB两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷）设抛物线22Cyx：，点20A，，20B，，过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k的直线l与椭圆22143xyC：交于A，B两点．线段AB的中点为(1,)(0)Mmm．（1）证明：12k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且0FPFAFB．证明：2FPFAFB．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A、B为曲线C：24xy上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C22:12xy上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足2NPNM.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线3x上，且1OPPQ.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy中，曲线22yxmx与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：22(0)ypxp于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.（Ⅰ）求OHON；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，点(2,2)在C上（1）求C的方程（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点,AB，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2xCyD，为直线12y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为,AB.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以50,2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F，2F分别是椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N.（1）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且15MNFN，求a，b.23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OMON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【答案】(1)见详解；(2)3或42.【分析】（1）可设11(,)Axy，22(,)Bxy，1(,)2Dt然后求出A，B两点处的切线方程，比如AD：1111()2yxxt，又因为BD也有类似的形式，从而求出带参数直线AB方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB方程和抛物线方程联立，再通过M为线段AB的中点，EMAB得出t的值，从而求出M坐标和EM的值，12,dd分别为点,DE到直线AB的距离，则212221,1dtdt，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2Dt,11(,)Axy,则21112yx．又因为212yx，所以y'x.则切线DA的斜率为1x，故1111()2yxxt，整理得112210txy.设22(,)Bxy，同理得222210txy.11(,)Axy,22(,)Bxy都满足直线方程2210txy.于是直线2210txy过点,AB，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2210txy.即2(21)0txy，当20,210xy时等式恒成立．所以直线AB恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB的方程为12ytx.由2122ytxxy，可得2210xtx，于是2121212122,1,()121xxtxxyytxxt2222121212||1||1()42(1)ABtxxtxxxxt.设12,dd分别为点,DE到直线AB的距离，则212221,1dtdt.因此，四边形ADBE的面积22121||312SABddtt.设M为线段AB的中点，则21,2Mtt，由于EMAB，而2,2EMtt，AB与向量(1,)t平行，所以220ttt，解得0t或1t.当0t时，3S；当1t时42S因此，四边形ADBE的面积为3或42.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPB，求|AB|．【答案】（1）12870xy；（2）4133.【分析】（1）设直线l：32yxm，11,Axy，22,Bxy；根据抛物线焦半径公式可得1252xx；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；（2）设直线l：23xyt；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3APPB可得123yy，结合韦达定理可求得12yy；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线l方程为：32yxm，11,Axy，22,Bxy由抛物线焦半径公式可知：12342AFBFxx1252xx联立2323yxmyx得：229121240xmxm则2212121440mm12m121212592mxx，解得：78m直线l的方程为：3728yx，即：12870xy（2）设,0Pt，则可设直线l方程为：23xyt联立2233xytyx得：2230yyt则4120t13t122yy，123yyt3APPB123yy21y，13y123yy则2121241341314412933ABy