七年级数学上册第2章有理数及其运算27有理数的乘方混合运算及科学记数法基础练习新版北师大版

有理数的乘方、混合运算及科学记数法【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3.进一步掌握有理数的混合运算.4.会用科学记数法表示大数.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：naaaan个.在na中，a叫做底数，n叫做指数．要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如na≥0．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na的形式（其中a是整数数位只有一位的数，l≤|a|10，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210.要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如-3000=3310；（2）把一个数写成10na形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.【典型例题】类型一、有理数乘方1．计算：（1）3(4)（2）（3）（4）（5）335（）（6）335（7）2（23）（8）223【答案与解析】（1）3(4)(4)(4)(4)64；（2）44464；（3）(3)(3)(3)(3)81；（4）333381；（5）335（）33327555125；（6）3353332755；（7）2（23）2636；344(3)43344(3)43（8）2232918【总结升华】()na与na不同，()()()nnaaaa个，而nnaaaa个表示a的n次幂的相反数．举一反三：【变式】（2018•长沙模拟）比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（）A．它们底数相同，指数也相同B．它们底数相同，但指数不相同C．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D．虽然它们底数不同，但运算结果相同【答案】D．解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.类型二、乘方的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553，-(-2)2010【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．类型三、有理数的混合运算3.（2019春•滨海县校级月考）计算：（1）4×（﹣）×3﹣|﹣6|；（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．【思路点拨】（1）原式先计算乘法及绝对值运算，再计算加减运算即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=12×（﹣）﹣6=﹣6﹣9+30﹣6=9；（2）原式=﹣1×（－12）÷（16－10）=12÷6=2．【总结升华】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式】计算：（1）4211(10.5)[2(3)]3（2）2421(2)(4)12【答案】原式111151(29)1(7)17523666原式11116(4)11612444类型四、科学记数法4.用科学记数法表示：(1)3870000000；（2）3000亿；（3）287.6.【答案与解析】（1）把3870000000写成10na时，3.87a，它是将原数的小数点向左移动9位得到的，即把原数缩小到9110，所以938700000003.8710；（2）3000亿=300000000000，把3000亿写成10na时，3a，n的值应比300000000000的整数位少1，因此11n，所以3000亿=11310；（3）287.6写成10na时，“-”照写，其它和正数一样，所以2287.62.87610.【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成10na形式，n的确定：n比这个数的整数位数少1.举一反三：【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为（）A．7.6057×510人B．7.6057×610人C．7.6057×710人D．0.76057×710人【答案】B5.（2018•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×106【答案】D．解：3.8×107﹣3.7×107=（3.8﹣3.7）×107=0.1×107=1×106．【总结升华】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．注意灵活运用运算定律简便计算．类型五、探索规律6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第n次捏合抻拉得到根面条，要想得到64根细面条，需次捏合抻拉.第1次第2次第3次【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律．第1次：122；第2次：224；第3次：328；…；第n次：2n.【答案】8；32；2n；6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：第1次：122；第2次：224；第3次：328；…；第n次：2n.第3次捏合抻拉得到面条根数：32，即8根；第5次得到：52，即32根；第n次捏合抻拉得到2n；因为6264，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．举一反三：【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．【答案】6【巩固练习】一、选择题1．（2018•南昌）2018年初，一列CRH5型高速车组进行了“300000公里正线运营考核”标志着中国高速快车从“中国制造”到“中国创造”的飞跃，将300000用科学记数法表示为（）A．3×106B．3×105C．0.3×106D．30×1042．下列说法中，正确的是（）．A．一个数的平方一定大于这个数B．一个数的平方一定是正数C．一个数的平方一定小于这个数D．一个数的平方不可能是负数3．式子的意义是（）．A．4与5商的立方的相反数B．4的立方与5的商的相反数C．4的立方的相反数除5D．的立方345454．（2019•宝应县一模）（﹣1）2019的值是（）A．1B．﹣1C．2019D．﹣20195．计算(-1)2+(-1)3＝()A．-2B．-1C．0D．26．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是()．A．7B．9C．3D．17．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为()．A．米B．米C．米D．米二、填空题8．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在中底数是________，指数是________．9.（2018•郸城县校级模拟）计算：﹣（﹣3）2=．10．；；=；．11．,12．6008000=（用科学记数法表示），=（把用科学记数法表示的数还原）.13．，，，……，从而猜想：……．三、解答题14．（2019春•浦东新区期中）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|3．15.（2018秋•蓬溪县校级月考）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（由1个分裂成2个）．若经过4小时，100个这样的细菌可分裂成多少个？16．探索规律：观察下面三行数，2，-4，8，-16，32，-64，…①31251261212122253523132253[(3)]_______233(2)_______53.00810213____2135_____21357_____13522005_____-2，-8，4，-20，28，-68，…②-1，2，-4，8，-16，32，…③(1)第①行第10个数是多少？(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？(3)取每行第10个数，计算这三个数的和．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B．2．【答案】D【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，例如：；而；，从而A，C均错；一个数的平方是正数或0，即非负数，所以B错，只有D对．3．【答案】B【解析】表示4的立方与5的商的相反数4．【答案】A【解析】解：∵（﹣1）2019=1，∴（﹣1）2019的值是1，故选A．5．【答案】C【解析】(-1)2＝1，(-1)3＝-16．【答案】D【解析】个位上的数字每4个一循环，100是4的倍数，所以的个位数字应为1．7．【答案】C二、填空题8．【答案】4，-2，3，2，2，2【解析】依据乘方的定义解答9.【答案】﹣9．22422111()242200345100710．【答案】3，-32，11．【答案】-27，7212．【答案】6.008×106；300800；13．【答案】【解析】，，，……从而猜想：每组数中，右边的幂的底数与左边的最后一个数的关系是：．所以……．三、解答题14．【解析】解：原式=9﹣×﹣6÷=9﹣﹣6×=9﹣﹣=9﹣21=﹣12．15.【解析】解：根据题意得：100×28=25600（个），则经过4小时，100个这样的细菌可分裂成25600个．16．【解析】（1）2,-4，8，-16，32，-64，…①第①行可以改写为：2，，，……,,……由-2的指数规律，可以知道n=10时，即=-1024为第①行第10个数．（2）第②行数是第①行相应的数减4；第③行数是第①行相应的数的-0.5倍；（3）第②行第10个数为-1024-4=-102814,275