高中数学-数列专题

高中数学1数列专题第1讲数列的概念及其表示..............................................................................................................1第2讲等差数列及前n项和............................................................................................................16第3讲等比数列及前n项和............................................................................................................31第4讲数列求和、数列的综合应用................................................................................................46第1讲数列的概念及其表示考点一数列的概念及其表示方法知识点1数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项．(2)数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N*或N*的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2数列的表示方法列表法列表格表达n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表达的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法3数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项高中数学2注意点数列图象是一些孤立的点数列作为一种特殊的函数，由于它的定义域为正整数集N*或它的有限子集，所以它的图象是一系列孤立的点.入门测1．思维辨析(1)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}表达的意义相同．()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(4)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an＝1＋－1n＋12.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为()A．an＝12n＋1B．an＝1n＋2C．an＝1nn＋2D．an＝12n－1答案C解析观察知an＝1n＋12－1＝1nn＋2.3．若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2015的值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析因为a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，所以a1＝3，a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，显然当n是奇数时，an＝3，所以a2015＝3.解题法[考法综述]利用归纳法求数列的通项公式，或给出递推关系式求数列中的项，并研究数列的简单性质．命题法数列的概念和表示方法及单调性的判断典例(1)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ1”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)写出下面各数列的一个通项公式：高中数学3①3,5,7,9，…；②1,3,6,10,15，…；③－1，32，－13，34，－15，36，…；④3,33,333,3333，….[解析](1)若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an0，即2n＋12λ对任意的n∈N*都成立，于是有32λ，λ32.由λ1可得λ32，但反过来，由λ32不能得到λ1，因此“λ1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.(2)①各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.②将数列改写为1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…因而有an＝nn＋12，也可逐差法a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式累加得an＝nn＋12.③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.④将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝13(10n－1)．[答案](1)A(2)见解析【解题法】归纳法求通项公式及数列单调性的判断(1)求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间的关系，常用技巧有：①借助于(－1)n或(－1)n＋1来解决项的符号问题．②项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系．③对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．④根据图形特征写出数列的通项公式，首先，要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次，要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后，归纳猜想出通项公式．(2)数列单调性的判断方法①作差比较法：an＋1－an0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．②作商比较法：当an0时，则an＋1an1⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1an1⇔数列{an}是单调高中数学4递减数列；an＋1an＝1⇔数列{an}是常数列．当an0时，则an＋1an1⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1an1⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1an＝1⇔数列{an}是常数列．③结合相应函数的图象直观判断数列的单调性．对点练1．设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则()A．d0B．d0C．a1d0D．a1d0答案C解析∵数列{2a1an}为递减数列，∴2a1an2a1an＋1，n∈N*，∴a1ana1an＋1，∴a1(an＋1－an)0.∵{an}为公差为d的等差数列，∴a1d0.故选C.2．下列可以作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝－1n＋12C．an＝2－sinnπ2D．an＝－1n－1＋32答案C解析A项显然不成立；n＝1时，a1＝－1＋12＝0，故B项不正确；n＝2时，a2＝－12－1＋32＝1，故D项不正确．由an＝2－sinnπ2可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…，故选C.3.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝nn－12C．an＝nn＋12D．an＝nn＋22答案C解析解法一：令n＝1,2,3,4，验证选项知选C.解法二：a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，…，an＝an－1＋n.∴(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝n＋(n－1)＋…＋3＋2.高中数学5因此an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12.考点二数列的通项公式知识点1an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.2已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．注意点已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论，特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”．(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.入门测1．思维辨析(1)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()(2)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.()(3)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝12an－1，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．()答案(1)√(2)√(3)√2．数列{an}中，a1＝1，an＝1an－1＋1，则a4等于()A.53B.43C．1D.23答案A高中数学6解析由a1＝1，an＝1an－1＋1得，a2＝1a1＋1＝2，a3＝1a2＋1＝12＋1＝32，a4＝1a3＋1＝23＋1＝53.故选A.3．在正项数列{an}中，若a1＝1，且对所有n∈N*满足nan＋1－(n＋1)an＝0，则a2015＝()A．1011B．1012C．2014D．2015答案D解析由a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝0可得an＋1an＝n＋1n，得到a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，an＋1an＝n＋1n，上述式子两边分别相乘得a2a1×a3a2×a4a3×…×an＋1an＝an＋1＝21×32×43×…×n＋1n＝n＋1，故an＝n，所以a2015＝2015，故选D.解题法[考法综述]高考以考查an与Sn的关系为主要目标以求通项公式an为问题形式，特别是给出递推公式如何构造数列求通项公式作为一个重难点和命题热点．命题法由Sn求an或由递推关系式求an典例(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，则此数列的通项公式为an＝________.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12，求Sn.[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1.当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，∴an＝4n＋1.(2)∵当n≥2，n∈N*时，an＝Sn－Sn－1，∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0，即1Sn－1Sn－1＝2，∴数列1Sn是公差为2的等差数列，又S1＝a1＝12，∴1S1＝2，∴1Sn＝2＋(n－1)·2＝2n，∴Sn＝12n.[答案](1)4n＋1(2)见解析【解题法】求通项公式的方法(1)由Sn求an的步骤①先利用a1＝S1求出a1.②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．高中数学7③对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．(2)由递推公式求通项公式的常见类型与方法①形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通项公式．②形如an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1求通项公式．③形如an＋1＝ban＋d(其中b，d为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造an＋1＋x＝b(an＋x)其中x＝db－1，则{an＋x}是公比为b的等比数列，利用它即可求出an.④形如an＋1＝panqan＋r(p，q，r是常数)的数列，将其变形为1an＋1