导数与函数的单调性练习含答案

第2讲导数在研究函数中的应用第1课时导数与函数的单调性一、选择题1．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为()A．(0,1)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)0，解得0x1，所以单调递减区间是(0,1)．答案A2．(2015·陕西卷)设f(x)＝x－sinx，则f(x)()A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数解析因为f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝0－sin0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.答案B3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)f(c)f(d)B．f(b)f(a)f(e)C．f(c)f(b)f(a)D．f(c)f(e)f(d)解析依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由abc，所以f(c)f(b)f(a)．答案C4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C.－∞，52D.－∞，52解析∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋1x恒成立．令g(x)＝x＋1x，g′(x)＝1－1x2，∴当x2时，g′(x)0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴m≤2＋12＝52.答案D5．(2017·上饶模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)解析由f(x)2x＋4，得f(x)－2x－40，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)2，所以F′(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增．又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－40等价于F(x)F(－1)，所以x－1.答案B二、填空题6．已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________．解析因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)0，即(－x2＋2)ex0，因为ex0，所以－x2＋20，解得－2x2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．答案(－2，2)7．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3lnx在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析由题意知f′(x)＝－x＋4－3x＝－x－1x－3x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t1t＋1或t3t＋1，得0t1或2t3.答案(0,1)∪(2,3)8．(2017·武汉模拟)已知f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，则m的取值范围为________．解析由f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c，得f′(x)＝2x＋2x－5，又函数f(x)在区间(m，m＋1)上为递减函数，∴f′(x)≤0在(m，m＋1)上恒成立，∴2m＋2m－5≤0，2m＋1＋2m＋1－5≤0，解得12≤m≤1.答案12，1三、解答题9．已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解(1)由题意得f′(x)＝1x－lnx－kex，又f′(1)＝1－ke＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－lnx－1ex.设h(x)＝1x－lnx－1(x0)，则h′(x)＝－1x2－1x0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0x1时，h(x)0，从而f′(x)0；当x1时，h(x)0，从而f′(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′23.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．解(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝23时，得a＝f′23＝3×232＋2a×23－1，解得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c，则f′(x)＝3x2－2x－1＝3x＋13(x－1)，列表如下：x－∞，－13－13，1(1，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)递增递减递增所以f(x)的单调递增区间是－∞，－13和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是－13，1.(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立，只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．11．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)0，设a＝f(0)，b＝f12，c＝f(3)，则()A．abcB．cbaC．cabD．bca解析依题意得，当x1时，f′(x)0，则f(x)在(－∞，1)上为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－10121，因此有f(－1)f(0)f12，即有f(3)f(0)f12，cab.答案C12．(2016·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．[－1,1]B.－1，13C.－13，13D.－1，－13解析∵f(x)＝x－13sin2x＋asinx，∴f′(x)＝1－23cos2x＋acosx＝1－23(2cos2x－1)＋acosx＝－43cos2x＋acosx＋53，由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立．令t＝cosx，t∈[－1,1]，则－43t2＋at＋53≥0.在t∈[－1,1]上恒成立．∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1,1]上恒成立．令g(t)＝4t2－3at－5，则g1＝－3a－1≤0，g－1＝3a－1≤0.解之得－13≤a≤13.答案C13．(2017·合肥质检)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是________．解析令g(x)＝fxx，则g′(x)＝xf′x－fxx20，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(－x)＝f－x－x＝－fx－x＝fxx＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)．则f(x)＝xg(x)0⇔x0，gx0或x0，gx0，解得x2或－2x0，故不等式f(x)0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．答案(－2,0)∪(2，＋∞)14．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax＋b.(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；(2)若φ(x)＝mx－1x＋1－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．解(1)由已知得f′(x)＝1x，∴f′(1)＝1＝12a，a＝2.又∵g(1)＝0＝12a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.(2)∵φ(x)＝mx－1x＋1－f(x)＝mx－1x＋1－lnx在[1，＋∞)上是减函数，∴φ′(x)＝－x2＋2m－2x－1xx＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立，∴x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m－2≤x＋1x，x∈[1，＋∞)，∵x＋1x∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.故实数m的取值范围是(－∞，2].