对傅里叶分析的认识与应用

对傅里叶分析的认识与应用摘要：通过对傅里叶级数的学习与了解，我对傅里叶技级数的发现，推理与认识进行了归纳总结与演绎，并且在解决实际问题上进行了一些工作。关键词：傅里叶级数；热传导方程；傅里叶分析1.引言傅里叶级数通常指将一个周期为一的函数2()ikxefx表示为：11sin2cos2nnnnniaAkxBkx的形式的变换，当然周期也可以是2，2,l什么的，都可以作此展开，而傅里叶级数中，中也有其完美的美学意义与历史价值，《死海古卷》里有句古话：“一个波动包含无数频率。”成分这也是对傅立叶级数的最好评价。更不用说用完美的正弦曲线绘制世界所给人带来的那种惊叹，周期运动，是宇宙中最常见的巧合。2.理论对于傅立叶级数的得出，我会通过自身认识进行展出，对于sin2t周期为1sin4t周期为1，周期为1，不变。看得出，共同的周期为1，和周期也是1.根据我们的需要：N个1sin(2)()sin2coscos2sinNkkkkAkttkkt因sink与cosk中没有t，所以作为系数的一部分得1(cos2sin2)nkkkaktbkt，而为了有更为普遍的意义，这里加入一个常数项系数02a（而这么写是为了以后应用的更方便）。01(cos2sin2)2nkkkaaktbkt（1）02a更像是交流电路中的直流分量。一个函数用sinx与cosx表征，那么其实就是函数在sinx与cosx上的一种投影。就像()fx在x上的投影为()fx，一条函数的曲线在空间中可以向任意一些坐标进行投影（只有这些坐标之间正交才有意义）而在傅里叶分析中，()fx在sin2kt与cos2kt所形成的无限维希尔伯特空间上进行n次投影就得出了傅里叶级数的各项系数。2.1我们要证明这是一个合格的正交坐标系：傅里叶级数将可能具有的系数：1,sin2,cos2kxkx分别取：1,sin2kx10sin20kxdx1,cos2kx10cos20kxdxsin2,cos2kxkx10sin2cos20kxkxdx由此可以证明所有基底相互正交。2．2证明所求系数为()fx在基底上的投影长度。在1上100()afxdx在sin2kx上10()sin2nafxkxdx在cos2kx上10()cos2nbfxkxdx在2ikxe上120()ikxncfxedx从上式得出，系数便是一种希尔伯特空间的投影取值。对于2ikxe2cos2sin2ikxekxikx22cos22ikxikxeekx22sin22ikxikxeekxi则（1）式变为：222201()222ikxikxikxikxnkkkaeeeeabi2201()222nikxikxkkkkkaaibaibee2201()2nikxikxkkkacece因为对称性原理kkcc2012nikxkkace而对于其中一项系数mc列出22()nikxikxmkkmcefxce-同除得2ikxe---22()1()nimxikmxmkkcefxce积分：11122()000()nikxikmxmkmcdtfxedxedx其中，1012()2()2()0011()02()2()ikmxikmxikmxedxeeeikmikm120()imxmcefxdx2.3总结：给一个()fx，如果写出()fx=21nikxkkce120()ikxkcefxdx而011()nnnnfxaab是在cosx与sinx为基底的态函数，此时不考虑cosx与sinx同时为x的函数两图中，()fx不发生变化，只有坐标发生了变化。(,)(cos,sin)fxyfxx这里事实上就是傅里叶变换的过程二．对原方程的认识这个图很不陌生，可以用振动方程的定解条件来解：0022121(,)sinsincosnFnxnxntuxtTnlll我们可以化简为：1(,)sincosnnnxntuxtBll当0t时，1(,)sinnnnxuxtBl是图中折线的傅里叶级数00()sinLnxBuxdxl看得出，没有余弦分量，是奇函数，居然推出(0,)xl时因为如图：则当长为2l的弦被以图中的方式拉开，弦的方程与l时并没有不同之处只是取值范围发生了延拓。如果在0,1内可积，可以想象为点乘，由10,()()fgftgtdt当()ft与()gt正交时，,0fgf的模为f2120.fffftdt而勾股定理为222fgfg所以只有当,0fg勾股定理成立。3.应用：这里例举一个一维例子圆环的初始温度为()fx设：周期为1，即21r则(1)()fxfx令(,)uxt为温度在x与t上的分布（t为时间）(,)uxt就变成了周期函数：(1,)(,)uxtuxt利用我们在数理方程上所学习的方程式：txxuaukace因为u为周期函数2(,)()iktkkuxtcte带入方程得：22()2(0)kkctkc由120()ikyfefydyf为傅里叶变换。2(,)ikxkkuxtctet在kc中2ikxkkcte求出()kct即可(,)uxt求kc'2ikttkkucte22()(2)nikxxxkkuctike222()(4)nikxxxkkuctke代入方程：txxuau2ikxkkce=2224()nikxkkakcte对应系数：'22()4()kkctakct为一阶线性微分方程解得：2()(0)iktkkctce引入初始条件()fx()fx2(0)nikxxxkkuce(0)()kcfk2222(,)()ktikxkuxtfkee3.小结本文以课本知识为主，叙述了傅里叶级数的意义，虽然没有太多学术价值，但是在创作论文的过程中，笔者学到了，注意到了很多重要的意义，对于培养数学思维与兴趣产生了帮助，更对物理物理的学习产生了巨大帮助。参考文献：[1]梁昆淼.数学物理方法.高等教育出版社.[M].2010.1.第四版.TOTHEFOURIERSERIESUNDERSTANDINGANDAPPLICATIONAbstract:Byallsemester’slearninganddeliberateoftheFourierseries.Ihadsummaryandconclusionaboutthediscoveryandapplication.Keywords:Fourierseries;FourierAnalysis;equationofheatconduction