弹性力学-课后习题解答

1o'zzy'y'xx习题解答第二章2.1计算：(1)piiqqjjk，(2)pqiijkjkeeA，(3)ijpklpkiljeeBB。解：(1)piiqqjjkpqqjjkpjjkpk;(2)()pqiijkjkpjqkpkqjjkpqqpeeAAAA;(3)()ijpklpkiljikjliljkkiljiijjjiijeeBBBBBBBB。2.2证明：若ijjiaa，则0ijkjkea。证：20ijkjkjkjkikjkjijkjkijkkjijkjkijkjkieaeaeaeaeaeaea。2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：2[,,]aaabacbabbbcabccacbcc证：1231112123222123333[,,]iiiiiiiiiiiiiiiiiiaaabacaaaabcbabbbcbbbabccacbcccccabcaaabacbabbbcabccacbcc。2.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：()()()()()()abcdacbdadbc证：()()ijijkklmlmnnijlmijklmkabecdeabcdeeabcdee()()()()()ijlmiljmimjliijjiijjabcdacbdadbc()()()()acbdadbc。2.5设有矢量iiuue。原坐标系绕z轴转动角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量u在新坐标系中的分量。解：11cos，12sin，130，21sin，22cos，230，310，320，331。1112cossiniiuuuu，22212sincosiiuuuu，333iiuuu。2.6设有二阶张量ijijTTee。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T在新坐标系中的分量11T、12T、13T和33T。解：变换系数同上题。1122112212211111cos2sin2222ijijTTTTTTTT，12211221221112cos2sin2222TTTTTTT，131323cossinTTT，3333TT。2.7设有3n个数12niiiA，对任意m阶张量12mjjjB，定义12121212nmnmiiijjjiiijjjCAB若1212nmiiijjjC为nm阶张量，试证明12niiiA是n阶张量。证：为书写简单起见，取2n，2m，则ijklijklCAB，在新坐标系中，有ijklijklCAB(a)因为ijklC和klB是张量，所以有ijkliijjkkllijkliijjijkkllkliijjijklCCABAB比较上式和式(a)，得()0ijiijjijklAAB由于B是任意张量，故上式成立的充要条件是ijiijjijAA即ijA是张量。2.8设A为二阶张量，试证明trIAA。证：=()()===trjkjkjkijikjkijikiiiiAAAAIAAeeeeeeee。2.9设a为矢量，A为二阶张量，试证明：3(1)()TTaAAa，(2)()TTAaaA证：(1)()()()TTTTjiijkkjiikjknnAaAaeAaeeeee()TjikjkninjnkjkiinAaeAaeeeeekkjnjnaAaAeee。(2)()()()TTTTiikjjkkjiijnnkaAAaeaAeeeee()njiijknknjnijikkAaeAaeeeeenjnjiiAaAaeee2.10已知张量T具有矩阵123[]456789T求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解：T的对称部分具有矩阵1351([][])3572579TTT，T的反对称部分具有矩阵0121([][])1012210TTT。和反对称部分对应的轴向矢量为1232ωeee。2.11已知二阶张量T的矩阵为310[]130001T求T的特征值和特征矢量。解：2310130(1)[(3)1]0001由上式解得三个特征值为14，22，31。将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为41121)2a(ee，121()2ae+e，33ae。2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：AImm，Bmnnm其中，和是实数，m和n是两个相互垂直的单位矢量。解：因为()()AmImmmm，所以m是A的特征矢量，是和其对应的特征值。设a是和m垂直的任意单位矢量，则有()AaImmaa所以和m垂直的任意单位矢量都是A的特征矢量，相应的特征值为，显然是特征方程的重根。令21()2mne，31()2mne，123e=ee则有232()2me+e，232()2ne+e上面定义的ie是相互垂直的单位矢量。张量B可以表示成1122330Beeee+ee所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是3e、1e和2e。2.13设a和b是矢量，证明：(1)2()()aaa(2)()()()()()abbaababba证：(1)这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。(2)()()()jjkkjkjkmmiiiiababexxabeeeee,,,,()()()jikjkijkmimnnjikjkijnkijiknnababeeababee,,,,jiijjiijjjkkikikababababeeee()()()()baababba2.14设2321232xyzxzxzaeee，求1()2waa及其轴向矢量。5解：12()waa23223211213212[(2)()(2)xzzxyzzxzeeeeee22222331326()6]xzzxyxzeeeeee由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量222321112322[6()(2)]xzxyzzxzωaeee。2.15设S是一闭曲面，r是从原点O到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点O在S的外面，积分30SdSrnr；(2)若原点O在S的内部，积分34SdSrnr。证：(1)当0r时，有33()()0iixrxrr(b)因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得33()0SVdSdvrrnrr。(2)因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S完全在S的内部。用V表示由S和S所围的区域，在V中式(b)成立，所以3333()0SSSSVdSdSdSdVrrrrnrnrnrr即33SSdSdSrrnrnr在S上，ra，/anr，于是3322114SSSSdSdSdSdSrraanrnr。2.16设123(2)yxxzxyfeee，试计算积分()SdSfn。式中S是球面2222xyza在xy平面的上面部分.解：用c表示圆222xya，即球面2222xyza和xy平面的交线。由Stokes公式得6()0SccdSdydxxdyfnfr。第三章3.1设r是矢径、u是位移，rru。求ddrr，并证明：当,1iju时，ddrr是一个可逆的二阶张量。解：ddddddrruIurrrddrIur的行列式就是书中的式(3.2)，当,1iju时，这一行列式大于零，所以ddrr可逆。3.2设位移场为uAr，这里的A是二阶常张量，即A和r无关。求应变张量ε、反对称张量()/2Ωuu及其轴向矢量ω。解：uA，1()2TεAA，1()2TΩAA，1122ijkjklliAxxωueeee111222jkijmmkilljkijmmkijiijmmAeAeAeeeeee3.3设位移场为uAr，这里的A是二阶常张量，且,1iju。请证明：(1)变形前的直线在变形后仍为直线；(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证：(1)方向和矢量a相同且过矢径为0r的点的直线方程可以写成0trar(1)其中t是可变的参数。变形后的矢径为()rrurArIAr(2)用IA点积式(1)的两边，并利用式(2),得0()()trIAaIAr上式也是直线方程，所表示的直线和矢量()IAa平行，过矢径为0()IAr的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。7(2)因为,1iju，所以IA可逆。记1()BIA，则1()rIArBr(3)变形前任意一个平面的方程可以表示成car(4)其中a是和平面垂直的一个常矢量，c是常数。将式(3)代入式(4)，得()caBr(5)上式表示的是和矢量aB垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。(3)变形前两个平行的平面可以表示成1car，2car变形后变成1()caBr，2()caBr仍是两个平行的平面。3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。答案：能；能。3.5设位移场为uAr，其中A是二阶常张量，n和m是两个单位矢量，它们之间的夹角为。求变形后的减小量。解：n和m方向的正应变分别为nnεn，mmεm用n和m代替式(3.11)中的1和2，经整理，得的减小量为2ctg()sinnεmnεnmεm又()/2TεAA，所以1()ctg()sinTnAAmnAnmAm。3.6设n和m是两个单位矢量，ddrrn和rrm是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为Adrr，试用应变张量把变形时它的面积变化率/AA表示出来，其中A是面积变形前后的改变量。解：变形后，dr和r变成ddddrrεrωr，rrεrωr对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得ddddrrrrrεrrr对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得8()()ddrrrr()()2()()2()()ddddddrrrrrεrrrrrrr(a)注意到22()()()2()ddAAAAArrrr2()()ddArrrr所以，从式(a)可得()()()()()()ddddAAddrε