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第十二章全等三角形优翼课件学练优八年级数学上（RJ）教学课件复习课知识网络专题复习课堂小结课后训练知识网络全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形性质基本性质对应边相等，对应角相等重要性质①对应高，对应中线，对应角平分线相等；②周长相等，面积相等判定一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形一般三角形SSS,SAS,ASA,AAS直角三角形除上述判定方法之外，还有“HL”角平分线的性质定理角平分线的判定定理专题复习专题一证明线段相等【例1】如图，点D、E分别在线段AB、AC上，已知AD=AE,∠B=∠C,H为线段BE、CD的交点，求证：BH=CH.ABCDEH【分析】欲证BH=CH需证△BDH≌△CEH需证BD=CE需证AB=AC需再证△ABE≌△ACD【证明】在△ABE和△ACD中,ABCDEH∠A=∠A,∠B=∠C,AE=AD,∴△ABE≌△ACD(AAS).∴AB=AC,∴AB-AD=AC-AE.即BD=CE.在△BDH和△CEH中,∠DHB=∠EHC,∠B=∠C,BD=CE,∴△BDH≌△CEH(AAS)，∴BH=CH.【归纳拓展】利用全等三角形证明线段相等时，首先要确定证明的线段在哪两个三角形中，结合已知条件，寻找新的条件，选择合适的判定方法.【配套训练】如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．ABCDEO【证明】∵AO平分∠BAC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E,∴OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°.在△BOD和△COE中，∠ODB=∠OEC=90°，OD=OE，∠DOB=∠EOC，∴△BOD≌△COE(ASA)，∴OB=OC.专题二证明角相等【例2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG【分析】欲证∠DEC=∠FEC由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE只需要证明△DEG≌△DCG.ABCDFEG【证明】∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE≌△AGC(ASA)，∴GE=GC.在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG.∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.【归纳拓展】利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很式，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.【配套训练】如图，AB=DC,∠A=∠D．求证：∠ABC=∠DCB.ABDCABDCNM【证明】取AD,BC的中点N,M，连接BN,CN，MN,则有AN=DN,BM=CM.在△ABN和△DCN中，AN=DN，∠A=∠D，AB=CD，∴△ABN≌△DCN(SAS).∴∠ABN=∠DCN,NB=NC.在△NBM和△NCM中，NB=NC，BM=CM，NM=NM，∴△NBM≌△NCM(SSS).∴∠NBC=∠NCB,∴∠NBC+∠ABN=∠NCB+∠DCN,即∠ABC=∠DCB,想一想：本题还有其他证法吗？专题三利用全等三角形解决实际问题【例3】如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ABCD【分析】将本题中实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC.AD⊥BC.ABCD【解】相等，理由如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD，AB=AC，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL).∴BD=CD.【归纳拓展】利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离，长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.专题四角平分线的性质与判定【例4】如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，∠PCB+∠BAP=180°，求证:PA=PC.BACN12P【分析】由角平分线的性质易想到过点P向∠ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.EF【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.BACN12PEF∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.∵∠PCB+∠BAP=180°,又知∠BAP+∠EAP=180°.∴∠EAP=∠PCB.在△APE和△CPF中，∠PEA=∠PFC=90°，∠EAP=∠FCP，PE=PF，∴△APE≌△CPF(AAS)，∴AP=CP.【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有△PAB≌△PDB,再证△PDC是等腰三角形即可获证.ACN12PB证明过程请同学们自行完成！D【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法。应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.【配套训练】如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点，PA=PC，求证:∠PCB+∠BAP=180°.BACN12PEF【证明】过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.PA=PC，PE=PF，在Rt△APE和Rt△CPF中，∴Rt△PAE≌Rt△PCF(HL).∴∠EAP=∠FCP.∵∠BAP+∠EAP=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°.想一想：本题如果不给图，条件不变，请问∠PCB与∠PAB有怎样的数量关系呢？课堂小结全等三角形性质基本性质和其他重要性质判定判定方法基本思路作用是证明两条线段相等和角相等的常用方法寻找现有条件（包括图中隐含条件）选定判定方法证明准备条件角的平分线的性质定理角的平分线的判定定理证明两条线段相等证明角相等辅助线添加方法课后训练1.如图,已知AC=BD,要使得△ABC≌△DCB只需要增加一个条件是.AB=DC或∠ACB=∠DBC2.如图：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=.ABCDO第1题ABCDE第2题123.已知:△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上.求证：BE=AD.EDCAB【证明】∵△ABC和△ECD都是等边三角形,∴AC=BC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°.∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE.即∠BCE=∠DCA.在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠BCE=∠DCA，DC=EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE=AD.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO是角平分线,点D在AC的延长线上,DE过点O且DE⊥AB,垂足为E.(1)请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由;（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来.(1)解：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.∵AO平分∠BAC，又DE⊥AB，BC⊥AC.∴OE=OC（角平分线上的点到角两边的距离相等）.(2)6对.AC=AE,CD=BE,AD=AB,EO=OC,OB=OD,ED=BC.ACDOBE