第1页,共11页2019-2020学年贵州省铜仁市高一(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合𝐴={2,3,4,5,6},𝐵={1,3,4},则𝐴∩𝐵=()A.{3}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{3,4}2.𝑐𝑜𝑠20°𝑐𝑜𝑠40°−𝑠𝑖𝑛20°𝑠𝑖𝑛40°的值等于()A.14B.√32C.12D.√343.函数𝑦=sin(2𝑥+𝜋3)的最小正周期是()A.𝜋2B.𝜋C.2𝜋D.4𝜋4.半径为4,圆心角为𝜋4的扇形的弧长为()A.𝜋4B.𝜋2C.𝜋D.3𝜋45.已知角𝛼的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点𝑃(6,−8),则𝑐𝑜𝑠𝛼=()A.45B.35C.−35D.−456.如果点𝑀(𝑠𝑖𝑛𝜃,𝑐𝑜𝑠𝜃)位于第二象限,那么角𝜃所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.设向量𝑎⃗⃗=(𝑘,2),𝑏⃗=(2,−2),若𝑎⃗⃗//𝑏⃗,则实数k的值是()A.2B.−2C.1D.−18.已知A、B、C是△𝐴𝐵𝐶的三个内角,𝑠𝑖𝑛𝐴=35,𝑐𝑜𝑠𝐵=−12,则𝑠𝑖𝑛𝐶=()A.4√3+310B.4√3−310C.−4√3−310D.−4√3+3109.已知函数𝑓(𝑥)=√𝑥2+𝑥+𝑎的定义域为R,则实数a的取值范围是()A.(0,14]B.(−∞,14]C.[14,+∞)D.[1,+∞)10.在△𝐴𝐵𝐶中,点D为AB边上一点,且𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()A.34𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗B.−34𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗C.−34𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗D.14𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗11.“若𝑓(𝑥)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛,有1𝑛[𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)++𝑓(𝑥𝑛 )]≤𝑓(𝑥1+𝑥2++𝑥𝑛𝑛)”设𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥在(0,𝜋)上是凸函数,则在△𝐴𝐵𝐶中,𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐶的最大值是()A.32B.12C.3√32D.√3212.已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔2(𝑚𝑥2+𝑛𝑥−2)的两个零点是−3和1,如果曲线|𝑦|=𝑛𝑥+2与直线𝑦=𝑏没有公共点,则b的取值范围是()A.[−12,12]B.[−1,1]C.[−2,2]D.[−3,3]二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知𝑎⃗⃗=(1,𝑚),𝑏⃗=(3,−2),𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗,则𝑚=______;第2页,共11页14.设函数,则𝑓(𝑓(3))=______;15.已知𝑡𝑎𝑛𝛼=2,则sin2𝛼−cos2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼=______;16.已知𝑏𝑎1,若log𝑎𝑏−log𝑏𝑎=32,𝑎𝑏=𝑏𝑎,则𝑎−𝑏=______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知向量𝑎⃗⃗=(1,1),𝑏⃗=(−3,4).(1)求|𝑎⃗⃗−𝑏⃗|的值;(2)求向量𝑎⃗⃗与𝑎⃗⃗−𝑏⃗夹角的余弦值.18.已知cos(2𝜋−𝛼)=−35,且𝛼为第三象限角.(1)求𝑠𝑖𝑛𝛼的值;(2)求𝑓(𝛼)=tan(−𝛼)sin(𝜋−𝛼)sin(𝜋2−𝛼)cos(𝜋+𝛼)的值.19.函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴0,𝜔0,|𝜑|𝜋2)的部分图象如图.(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式;(2)将函数𝑓(𝑥)的图象向左平移𝜋6个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数𝑔(𝑥)的图象,求𝑔(𝜋4)的值.第3页,共11页20.已知函数𝑓(𝑥)=ln(2+𝑥)−ln(2−𝑥).(1)求𝑓(𝑥)的定义域;(2)判断函数𝑓(𝑥)的奇偶性应予以证明;(3)若ℎ(𝑥)=𝑥2𝑓(𝑥)+1,求ℎ(12010)+ℎ(−12010)的值.21.已知函数𝑓(𝑥)=2√3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−2𝑠𝑖𝑛2𝑥.(1)求𝑓(𝜋6)的值;(2)当𝑥∈[0,𝜋2]时,求𝑓(𝑥)的值域;(3)当𝑥∈[0,𝜋]时,求𝑓(𝑥)的单调递减区间.第4页,共11页22.已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔9(3𝑥+1)+𝑘𝑥(𝑘∈𝑅)为偶函数.(1)求k的值;(2)已知函数𝑔(𝑥)=9𝑓(𝑥)+𝑥4+𝑚⋅9𝑥−1,𝑥∈[0,1],若𝑔(𝑥)的最小值为0,求m的值.第5页,共11页答案和解析1.【答案】D【解析】解:∵集合𝐴={2,3,4,5,6},𝐵={1,3,4},∴𝐴∩𝐵={3,4}.故选:D.利用交集定义直接求解.本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【答案】C【解析】解:𝑐𝑜𝑠20°𝑐𝑜𝑠40°−𝑠𝑖𝑛20°𝑠𝑖𝑛40°=cos(20°+40°)=𝑐𝑜𝑠60°=12.故选:C.院士利用两角和与差的余弦函数公式化简,再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.此题考查了两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键.3.【答案】B【解析】解:函数𝑦=sin(2𝑥+𝜋3),∵𝜔=2,∴𝑇=2𝜋2=𝜋.故选:B.由函数解析式找出𝜔的值,代入周期公式𝑇=2𝜋|𝜔|,即可求出函数的最小正周期.此题考查了三角函数的周期性及其求法,能从函数解析式中找出𝜔的值,熟练掌握周期公式是解本题的关键.4.【答案】C【解析】解:半径为4,圆心角为𝜋4的扇形的弧长为:𝑙=4×𝜋4=𝜋.故选:C.利用弧长公式直接求解.本题考查弧长的求法,考查弧长公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5.【答案】B【解析】解:∵角𝛼的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点𝑃(6,−8),∴𝑥=6,𝑦=−8,𝑟=√36+64=10,∴𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑥𝑟=610=35.故选:B.利用任意角三角函数的定义直接求解.第6页,共11页本题考查三角函数值的求法,考查任意角三角函数的定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.【答案】D【解析】解:∵点𝑀(𝑠𝑖𝑛𝜃,𝑐𝑜𝑠𝜃)位于第二象限,∴{𝑠𝑖𝑛𝜃0cos0,∴角𝜃所在的象限是第四象限,故选:D.由第二象限点的坐标符号可得{𝑠𝑖𝑛𝜃0cos0,再由三角函数的符号可得角𝜃所在的象限.本题考查三角函数值的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦,属于基础题.7.【答案】B【解析】解:根据题意,向量𝑎⃗⃗=(𝑘,2),𝑏⃗=(2,−2),若𝑎⃗⃗//𝑏⃗,则有(−2)×𝑘=2×2=4,解得:𝑘=−2;故选:B.根据题意,由向量平行的坐标表示方法可得若𝑎⃗⃗//𝑏⃗,则有(−2)×𝑘=2×2=4,解可得k的值,即可得答案.本题考查向量平行的坐标表示,关键是掌握向量平行的坐标表示公式,属于基础题.8.【答案】B【解析】解:由𝑠𝑖𝑛𝐴=35,𝑐𝑜𝑠𝐵=−120,得B为钝角,A,C为锐角,故𝑐𝑜𝑠𝐴=45,𝑠𝑖𝑛𝐵=√32,𝑠𝑖𝑛𝐶=sin(𝐴+𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵=35⋅(−12)+45⋅√32=4√3−310,故选:B.根据题意求出得B为钝角,A,C为锐角,得到𝑐𝑜𝑠𝐴=45,𝑠𝑖𝑛𝐵=√32,由𝑠𝑖𝑛𝐶=sin(𝐴+𝐵)展开代入即可.考查同角关系式的转化,两角和与差公式的应用,中档题.9.【答案】C【解析】解:∵𝑓(𝑥)的定义域为R,∴𝑥2+𝑥+𝑎≥0的解集为R,∴△=1−4𝑎≤0,解得𝑎≥14,∴实数a的取值范围是[14,+∞).故选:C.根据题意可得出,不等式𝑥2+𝑥+𝑎≥0的解集为R,从而得出△=1−4𝑎≤0,解出a的范围即可.本题考查了函数定义域的定义及求法,一元二次不等式𝑥2+𝑥+𝑎≥0的解集为R时,判别时△的取值情况,考查了计算能力,属于基础题.10.【答案】A第7页,共11页【解析】解:作𝐷𝐸//𝐵𝐶,𝐷𝐹//𝐴𝐶,又𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,故选:A.作𝐷𝐸//𝐵𝐶,𝐷𝐹//𝐴𝐶,根据,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=34𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,得出结论.考查共线向量,平面向量基本定理的应用,基础题.11.【答案】C【解析】解:由𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥在(0,𝜋)上是凸函数,可得在△𝐴𝐵𝐶中,13[𝑓(𝐴)+𝑓(𝐵)+𝑓(𝐶)]≤𝑓(𝐴+𝐵+𝐶3),即有13(𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐶)≤sin𝜋3,即𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐶≤3𝑠𝑖𝑛𝜋3=3√32.当且仅当𝐴=𝐵=𝐶=𝜋3时,取得等号.则𝑠𝑖𝑛𝐴+𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑠𝑖𝑛𝐶的最大值是3√32.故选:C.运用是凸函数的定义,可得13[𝑓(𝐴)+𝑓(𝐵)+𝑓(𝐶)]≤𝑓(𝐴+𝐵+𝐶3),计算即可得到所求最大值,及等号成立的条件.本题考查新定义的理解和运用,同时考查三角形的内角和定理,考查运算能力,属于基础题.12.【答案】C【解析】解:由题意得,−3,1是方程𝑚𝑥2+𝑛𝑥−2=1,即𝑚𝑥2+𝑛𝑥−3=0的两根,所以:−3⋅1=−3𝑚,−3+1=−𝑛𝑚,解得:𝑚=1,𝑛=2,所以|𝑦|=2𝑥+2,如图所示:如果曲线|𝑦|=2𝑥+2与直线𝑦=𝑏没有公共点,则𝑏∈[−2,2],故选:C.由题意函数的零点就是方程的根,求出m,n的值,进而画出曲线|𝑦|=𝑛𝑥+2的图象,数形结合求出符合条件的b的范围.考查函数的零点与方程根的关系,属于中档题.13.【答案】32【解析】解:∵𝑎⃗⃗=(1,𝑚),𝑏⃗=(3,−2),𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗,∴𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=3−2𝑚=0,解得𝑚=32.第8页,共11页故答案为:32.利用向量垂直的性质直接求解.本题考查实数值的求法,考查向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.【答案】2【解析】解:由题意可得,𝑓(𝑓(3))=𝑓(1)=2.故答案为:2据分段函数的解析式,先求出𝑓(3)的值,再求𝑓(𝑓(3))的值.本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题.15.【答案】34【解析】解:∵𝑡𝑎𝑛𝛼=2,∴sin2𝛼−cos2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼=sin2𝛼−cos2𝛼2𝑠𝑖𝑛𝛼cos𝛼=tan2𝛼−12𝑡𝑎𝑛𝛼=4−12×2=34,故答案为:34.sin2𝛼−cos2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼=sin2𝛼−cos2𝛼2𝑠𝑖𝑛𝛼cos𝛼=tan2𝛼−1tan𝛼,由此能求出结果.本题考查三角函数值的求法,考查同角三角函数关系式和二倍角公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.16.【答案】−2【解析】解:𝑏𝑎1,∴log𝑎𝑏1,∵log𝑎𝑏−log𝑏𝑎=log𝑎𝑏−1𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏=32,解可得,log𝑎𝑏=2即𝑏=𝑎2,∵𝑎𝑏=𝑏𝑎=𝑎2𝑎,∴𝑏=2𝑎=𝑎2,∴𝑎=