数字信号处理课后答案第6章(高西全丁美玉第三版)

教材第6章习题与上机题解答1．设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率fp=6kHz，通带最大衰减ap=3dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减as=25dB。求出滤波器归一化系统函数G(p)以及实际滤波器的Ha(s)。解:（1）求阶数N。spspsp0.12.5sp0.10.3lglg10110117.794101101aakNpks3ssp3p2π121022π610将ksp和λsp值代入N的计算公式,得lg17.7944.15lg2N所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化）。（2）求归一化系统函数G(p)。由阶数N=5直接查教材第157页表6.2.1,得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数G(p)为54321()3.2365.23615.23613.23611Gpppppp或221()(0.6181)(1.6181)(1)Gpppppp当然，也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：121jπ22e0,1,2,3,4kNkpk再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为401()()kkGppp最后代入pk值并进行分母展开，便可得到与查表相同的结果。（3）去归一化（即LP-LP频率变换），由归一化系统函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。由于本题中ap=3dB，即Ωc=Ωp=2π×6×103rad/s，因此caa5c54233245ccccc()()|3.23615.23615.23613.2361spHsHpsssss对分母因式形式，则有caa52222ccccc()()|(0.6180)(1.6180)()spcHsHpsssss如上结果中，Ωc的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。2．设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减αp=0.2dB，阻带截止频率fs=12kHz,阻带最小衰减αs=50dB。求出滤波器归一化系统函数G(p)和实际的Ha(s)。解:（1）确定滤波器技术指标。αp=0.2dB,Ωp=2πfp=6π×103rad/sαs=50dB,Ωs=2πfs=24π×103rad/sλp=1,ssp4(4)求阶数N和ε。sp1s0.110.1archarch1011456.65101arch1456.653.8659arch4aakNkN为了满足指标要求，取N=4。p0.11010.2171a(3)求归一化系统函数G(p)411111()2()1.7368()NNkkkkQppppp其中，极点pk由教材（6.2.46）式求出如下：(21)π(21)πchsinjchcos1,2,3,4221111arsharsh0.558040.2171kkkpkNNN1234ππch0.5580sinjch0.5580cos0.4438j1.0715883π3πch0.5580sinjch0.5580cos1.0715j0.4438885π5πch0.5580sinjch0.5580cos1.0715j0.4438887π7πch0.5580sinjch0.5580cos0.4438j1.0788pppp15(4)将G(p)去归一化，求得实际滤波器系统函数Ha(s)：pa44p44p11()()|1.7368()1.7368()sppkkkkHsQpspss其中，sk=Ωppk=6π×103pk,k=1,2,3,4。因为p4=p1*,p3=p2*,所以，s4=s1*,s3=s2*。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数全为实数。16222211222482487.268710()(2Re[]||)(2Re[]||)7.26871016(1.6731104.779110)(4.0394104.779010)aHsssssssssssss也可得到分母多项式形式，请读者自己计算。3．设计一个巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率fp=20kHz，阻带截止频率fs=10kHz，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减as=15dB。求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。解:(1)确定高通滤波器技术指标要求：p=20kHz,ap=3dBfs=10kHz,as=15dB(2)求相应的归一化低通滤波器技术指标要求：套用图5.1.5中高通到低通频率转换公式②，λp=1,λs=Ωp/Ωs，得到λp=1,ap=3dB,2spsas=15dB(3)设计相应的归一化低通G(p)。题目要求采用巴特沃斯类型，故ps0.1sp0.1ssppspsp1010.181012lglg0.182.47lglg2aakkN所以，取N=3，查教材中表6.2.1，得到三阶巴特沃斯归一化低通G(p)为321()221Gpppp(4)频率变换。将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)：c33223ccc()()|22pssHsGpsss式中Ωc=2πfc=2π×20×103=4π×104rad/s4.已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下：a22()()saHssab(1)(2)a22()()bHssab式中a、b为常数，设Ha(s)因果稳定，试采用脉冲响应不变法将其转换成数字滤波器H(z)。解:该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式。设采样周期为T。(1)a22()()saHssabHa(s)的极点为s1=－a+jb,s2=－a－jb将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：12a221212212212122122()()()()()()()AAsaHssabssssAssAsssabAAsAsAssab比较分子各项系数可知，A1、A2应满足方程：1212211AAAsAsa解之得，A1=1/2，A2=1/2，所以a1/21/2()(j)(j)Hssabsab套用教材（6.3.4）式，得到21(j)1(j)111/21/2()1e1e1ekkTsabTabTkAHzzzz按照题目要求，上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本节结构来实现。由于两个极点共轭对称，所以将H(z)的两项通分并化简整理，可得11221ecos()()12ecos()eaTaTaTzbTHzbTzz这样，如果遇到将a22()()saHssab用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。a22()()bHssab(2)Ha(s)的极点为s1=－a+jb,s2=－a－jb将Ha(s)部分分式展开：ajj22()(j)(j)Hssabsab套用教材（6.3.4）式，得到(j)1(j)1jj22()1e1eabTabTHzzz通分并化简整理，得到1122esin()()12ecos()eaTaTaTzbTHzbTzz5．已知模拟滤波器的系统函数如下：a21()1Hsss(1)(2)a21()231Hsss试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。设T=2s。解:Ⅰ.用脉冲响应不变法(1)a21()1Hsss方法一直接按脉冲响应不变法设计公式，Ha(s)的极点为121313j,j2222ssa1313jj22221133jj33()1313jj232233jj33()1e1eTTHsssHzzz将T=2代入上式，得1j311j3111112233jj33()1e1e23esin3312ecos3eHzzzzzz方法二直接套用4题（2）所得公式。为了套用公式，先对Ha(s)的分母配方，将Ha(s)化成4题中的标准形式：a22()()bHscsabc为一常数由于2222131312422ssss所以a22231232()131322Hssss对比可知，，套用公式，得13,22ab1122211112223esin()()312ecos()e23esin3312ecos3eaTaTaTTzbTHzzbTzzzz(2)a2111()123112Hsssss21112112111()|1e1e111e1eTTTHzzzzz或通分合并两项得12112132(ee)()1(ee)ezHzzzⅡ．（1）11a22111,2111121211121221()()|11111(1)(1)(1)(1)(1)123zsTTzHzHszzzzzzzzzzzz(2)11a211111112122121211()()|1123111(1)2(1)3(1)(1)1262zszHzHszzzzzzzzzzz6．设ha(t)表示一模拟滤波器的单位冲激响应，即0.9ae0()00tthtt≥用脉冲响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器（用h(n)表示单位脉冲响应，即h(n)=ha(nT)）。确定系统函数H(z)，并把T作为参数，证明：T为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。解:模拟滤波器系统函数为0.9a01()eed0.9tstHstsHa(s)的极点s1=－0.9，故数字滤波器的系统函数应为110.9111()1e1esTTHzzzH(z)的极点为z1=e－0.9T,|z1|=e－0.9T题6解图所以，T0时，|z1|1，H(z)满足因果稳定条件。对T=1和T=0.5，画出H(ejω)曲线如题6解图实线和虚线所示。由图可见，该数字滤波器近似为低通滤波器。且T越小，滤波器频率混叠越小，滤波特性越好（即选择性越好）。反之，T越大，极点离单位圆越远，选择性越差，而且频率混叠越严重，ω=π附近衰减越小，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。7．假设某模拟滤波器Ha(s)是一个低通滤波器，又知，数字滤波器H(z)的通带中心位于下面哪种情况？并说明原因。（1）ω=0（低通）。（2）ω=π（高通）。（3）除0或π以外的某一频率（带通）。10.91eesTTza11()()|zszHzHs解：方法一按题意可写出a11()()|zszHzHs故jjjecos1e12jjjcot1e12sin2zzsz即||cot2原模拟低通滤波器以Ω=0为通带中心，由上式可知，Ω=0时，对应于ω=π，故答案为(2)。方法二找出对应于Ω=0的数字频率ω的对应值即可。令z