2020年高考理科数学一轮复习考点与题型全归纳选修44坐标系与参数方程

选修4－4坐标系与参数方程第一节坐标系一、基础知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ＞0，y′＝μ·yμ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对ρ，θ叫做点M的极坐标，记为Mρ，θ.一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数.3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.4．简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcosθ－π2≤θ≤π2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θπ)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a－π2θπ2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0θπ)考点一平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例]求双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．[解]设曲线C′上任意一点P(x′，y′)，由上述可知，将x＝13x′，y＝2y′代入x2－y264＝1，得x′29－4y′264＝1，化简得x′29－y′216＝1，即x29－y216＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求．[解题技法]伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λxλ0，y′＝μyμ0的作用下的变换方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝fx′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．[提醒]应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x′，y′)．[题组训练]1．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝3y的作用下得到曲线的方程为y′＝3sinx′＋π6，求函数y＝f(x)的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sinx′＋π6得3y＝3sin2x＋π6，整理得y＝sin2x＋π6，故f(x)＝sin2x＋π6.所以函数f(x)的最小正周期为π.2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆x225＋y216＝1的一个伸缩变换公式φ：x′＝λx，y′＝μy(λ，μ0)，求λ，μ的值．解：将变换后的椭圆x225＋y216＝1改写为x′225＋y′216＝1，把伸缩变换公式φ：x′＝λx，y′＝μy(λ，μ0)代入上式得：λ2x225＋μ2y216＝1即λ52x2＋μ42y2＝1，与x2＋y2＝1，比较系数得λ52＝1，μ42＝1，所以λ＝5，μ＝4.考点二极坐标与直角坐标的互化[典例](2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinπ6－θ＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．[解]因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为ρsinπ6－θ＝2，化成直角坐标方程为y＝33(x－4)，则直线l过A(4,0)，倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB＝π6.如图，连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝π2，所以AB＝4cosπ6＝23.所以直线l被曲线C截得的弦长为23.[解题技法]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．(1)当x≠0时，θ角才能由tanθ＝yx按上述方法确定．(2)当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y0时，可取θ＝π2；当x＝0，y0时，可取θ＝3π2.[题组训练]1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，解得x＝0，y＝1，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为1，π2即为所求．2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cosθ－π4＝2.(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2，所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.考点三曲线的极坐标方程的应用[典例](2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[解](1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π3＝2sin2α－π3－32.即当α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.[解题技法]1．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M(ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与θ的关系．(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．2．利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[提醒]在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．[题组训练]1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝cosφ，y＝1＋sinφ(其中φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)设直线l的极坐标方程是ρsinθ＋π3＝2，射线OM：θ＝π6与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解：(1)圆C的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，把θ＝π6代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2，所以|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1.2．(2018·湖北八校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝9cos2θ＋9sin2θ，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)A，B为曲线C上两点，若OA⊥OB，求1|OA|2＋1|OB|2的值．解：(1)由ρ2＝9cos2θ＋9sin2θ得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得到曲线C的直角坐标方程是x29＋y2＝1.(2)因为ρ2＝9cos2θ＋9sin2θ，所以1ρ2＝cos2θ9＋sin2θ，由OA⊥OB，设A(ρ1，α)，则点B的坐标可设为ρ2，α±π2，所以1|OA|2＋1|OB|2＝1ρ21＋1ρ22＝cos2α9＋sin2α＋sin2α9＋cos2α＝19＋1＝109.[课时跟踪检测]1．在极坐标系中，求直线ρcosθ＋π6＝1与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．解：ρcosθ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x－y＝2，即y＝3x－2.ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，把y＝3x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－83x＋12＝0，即(x－3)2＝0，所以x＝3，y＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为2，π6.2．在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：在ρsinθ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．因为圆C经过点P2，π4，所以圆C的半径|PC|＝22＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.3．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线OP：θ＝π6(ρ∈R)与圆C交于点M，N，求线段MN的长．解：(1)(x－3)2＋(y＋1)2＝9可化为x2＋y2－23x＋2y－5＝0，故其极坐标方程为ρ2－23ρcosθ＋2ρsinθ－5＝0.(2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcosθ＋2ρsinθ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝26.4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而C的直角坐标方程为1