2020年高考理科数学一轮复习考点与题型全归纳选修45不等式选讲

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式一、基础知识1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立.2．绝对值不等式的解法(1)|x|a与|x|a型不等式的解法不等式a0a＝0a0|x|a{}x|－axa∅∅|x|a{x|xa或x－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.考点一绝对值不等式的解法[典例](2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集．[解](1)由题意得f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1x≤32，－x＋4，x32，故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.故f(x)1的解集为{x|1x3}，f(x)－1的解集为xx13或x5.所以|f(x)|1的解集为xx13或1x3或x5.[题组训练]1．解不等式|x＋1|＋|x－1|≤2.解：当x－1时，原不等式可化为－x－1＋1－x≤2，解得x≥－1，又因为x－1，故无解；当－1≤x≤1时，原不等式可化为x＋1＋1－x＝2≤2，恒成立；当x1时，原不等式可化为x＋1＋x－1≤2，解得x≤1，又因为x1，故无解；综上，不等式|x＋1|＋|x－1|≤2的解集为[－1,1]．2．(2019·沈阳质检)已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋3x.法一：由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，当x1时，x－1－(2x＋1)≥0，得x≤－2，无解；当－12≤x≤1时，1－x－(2x＋1)≥0，得－12≤x≤0；当x－12时，1－x－(－2x－1)≥0，得－2≤x－12.∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．法二：由f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|≥|2x＋1|，两边平方，化简整理得x2＋2x≤0，解得－2≤x≤0，∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．(2)由|x－a|＋3x≤0，可得x≥a，4x－a≤0或xa，2x＋a≤0，即x≥a，x≤a4或xa，x≤－a2.当a0时，不等式的解集为xx≤－a2.由－a2＝－1，得a＝2.当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤0}，不合题意．当a0时，不等式的解集为xx≤a4.由a4＝－1，得a＝－4.综上，a＝2或a＝－4.考点二绝对值不等式性质的应用[典例](2019·湖北五校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.(1)解不等式f(x)|x|＋1；(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤13，|2y＋1|≤16，求证：f(x)1.[解](1)∵f(x)|x|＋1，∴|2x－1||x|＋1，即x≥12，2x－1x＋1或0x12，1－2xx＋1或x≤0，1－2x－x＋1，得12≤x2或0x12或无解．故不等式f(x)|x|＋1的解集为{x|0x2}．(2)证明：f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|＋|2y＋1|≤2×13＋16＝561.故不等式f(x)＜1得证．[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式．[题组训练]1．求函数f(x)＝|x＋2019|－|x－2018|的最大值．解：因为f(x)＝|x＋2019|－|x－2018|≤|x＋2019－x＋2018|＝4037，所以函数f(x)＝|x＋2019|－|x－2018|的最大值为4037.2．若x∈[－1,1]，|y|≤16，|z|≤19，求证：|x＋2y－3z|≤53.证明：因为x∈[－1,1]，|y|≤16，|z|≤19，所以|x＋2y－3z|≤|x|＋2|y|＋3|z|≤1＋2×16＋3×19＝53，所以|x＋2y－3z|≤53成立．考点三绝对值不等式的综合应用[典例](2018·合肥质检)已知函数f(x)＝|2x－1|.(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；(2)若关于x的不等式f(x)m－f(x＋1)的解集不是空集，求m的取值范围．[解](1)f(x)－f(x＋1)≤1⇔|2x－1|－|2x＋1|≤1，则x≥12，2x－1－2x－1≤1或－12x12，1－2x－2x－1≤1或x≤－12，1－2x＋2x＋1≤1，解得x≥12或－14≤x12，即x≥－14，所以原不等式的解集为－14，＋∞.(2)由条件知，不等式|2x－1|＋|2x＋1|m有解，则m(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋(2x＋1)|＝2，当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈－12，12时等号成立，故m2.所以m的取值范围是(2，＋∞)．[解题技法]两招解不等式问题中的含参问题(1)转化①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.(2)求最值求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||；③利用零点分区间法．[题组训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝2x＋4，x－1，2，－1≤x≤2，－2x＋6，x2.当x－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x－1，当－1≤x≤2时，显然满足题意，当x2时，由－2x＋6≥0，解得2x≤3，故f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·广东珠海二中期中)已知函数f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|(m∈R)，若关于x的不等式f(x)≤|2x＋1|的解集为A，且34，2⊆A，求实数m的取值范围．解：∵34，2⊆A，∴当x∈34，2时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，即|x＋m|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈34，2上恒成立，∴|x＋m|＋2x－1≤2x＋1，即|x＋m|≤2在x∈34，2上恒成立，∴－2≤x＋m≤2，∴－x－2≤m≤－x＋2在x∈34，2上恒成立，∴(－x－2)max≤m≤(－x＋2)min，∴－114≤m≤0，故实数m的取值范围是－114，0.[课时跟踪检测]1．求不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集．解：原不等式可化为x－12，1－2x－2x－1≤6或－12≤x≤12，1－2x＋2x＋1≤6或x12，2x－1＋2x＋1≤6.解得－32≤x≤32，即原不等式的解集为x－32≤x≤32.2．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)≤5.解：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，从而解得a＝2.(2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝－2x＋6，x≤2，2，2＜x≤4，2x－6，x＞4.故当x≤2时，由－2x＋6≤5，得12≤x≤2；当2x≤4时，显然不等式成立；当x4时，由2x－6≤5，得4x≤112，故不等式f(x)≤5的解集为x12≤x≤112.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1x1，2，x≥1.故不等式f(x)1的解集为xx12.(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时，|ax－1|≥1；若a0，则|ax－1|1的解集为x0x2a，所以2a≥1，故0a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．4．设函数f(x)＝|3x－1|＋ax＋3.(1)若a＝1，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)有最小值，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|3x－1|＋x＋3≤4，即|3x－1|≤1－x，x－1≤3x－1≤1－x，解得0≤x≤12，所以f(x)≤4的解集为0，12.(2)因为f(x)＝3＋ax＋2，x≥13，a－3x＋4，x13，所以f(x)有最小值的充要条件为a＋3≥0，a－3≤0，解得－3≤a≤3，即实数a的取值范围是[－3,3]．5．(2019·贵阳适应性考试)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)－x；(2)若关于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集为R，求实数a的取值范围．解：(1)原不等式等价于f(x)＋x＞0，不等式f(x)＋x0可化为|x－2|＋x|x＋1|，当x－1时，－(x－2)＋x－(x＋1)，解得x－3，即－3x－1；当－1≤x≤2时，－(x－2)＋xx＋1，解得x1，即－1≤x1；当x2时，x－2＋xx＋1，解得x3，即x3，综上所述，不等式f(x)＋x0的解集为{x|－3x1或x3}．(2)由不等式f(x)≤a2－2a可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当x∈(－∞，－1]时等号成立，∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3.∴实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．6．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|.(1)若a＝2，求不等式f(x)＞x＋2的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝－2x＋