2020年高考理科数学一轮复习考点与题型全归纳第3章导数及其应用

第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx❶为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．❷曲线y＝fx在点Px0，y0处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′x0的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数．(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．5．定积分的概念在∫baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx(k为常数)；(2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx；(3)∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx(其中a＜c＜b)．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质3进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．8．定积分的几何意义定积分∫baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S.①S＝∫baf(x)dx；②S＝－∫baf(x)dx；③S＝∫caf(x)dx－∫bcf(x)dx；④S＝∫baf(x)dx－∫bag(x)dx＝∫ba[f(x)－g(x)]dx.1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.2当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．熟记以下结论：(1)1x′＝－1x2；(2)(ln|x|)′＝1x；(3)1fx′＝－f′x[fx]2(f(x)≠0)；(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．3．常见被积函数的原函数(1)∫bacdx＝cx|ba；(2)∫baxndx＝xn＋1n＋1|ba(n≠－1)；(3)∫basinxdx＝－cosx|ba；(4)∫bacosxdx＝sinx|ba；(5)∫ba1xdx＝ln|x||ba；(6)∫baexdx＝ex|ba.考点一导数的运算1．f(x)＝x(2018＋lnx)，若f′(x0)＝2019，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e解析：选Bf′(x)＝2018＋lnx＋x×1x＝2019＋lnx，故由f′(x0)＝2019，得2019＋lnx0＝2019，则lnx0＝0，解得x0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝()A.12－8ln21－2ln2B.21－2ln2C.41－2ln2D．－2解析：选C因为f′(x)＝f′(1)·2xln2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln2＋2，解得f′(1)＝21－2ln2，所以f′(x)＝21－2ln2·2xln2＋2x，所以f′(2)＝21－2ln2×22ln2＋2×2＝41－2ln2.3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.答案：－24．求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x；(3)y＝cosxex；(4)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx)′＋1x′＝1x－1x2.(3)y′＝cosxex′＝cosx′ex－cosxex′ex2＝－sinx＋cosxex.(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin4x，∴y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.考点二导数的几何意义及其应用考法(一)求切线方程[例1](2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x[解析]法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.法二：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.[答案]D考法(二)求切点坐标[例2]已知函数f(x)＝xlnx在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．[解析]∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，即f′(x0)＝1，∴lnx0＋1＝1，lnx0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即P(1,0)．[答案](1,0)考法(三)由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3](1)(2018·商丘二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是()A．[－1,2]B．(3，＋∞)C.－23，13D.－13，23(2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.[解析](1)由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，∵ex＋11，∴1ex＋1∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cosx，得g′(x)＝3a－2sinx，又－2sinx∈[－2,2]，∴3a－2sinx∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cosx上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则－2＋3a≤0，2＋3a≥1，解得－13≤a≤23.(2)∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.[答案](1)D(2)－3考法(四)两曲线的公切线问题[例4]已知曲线f(x)＝x3＋ax＋14在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－lnx相切，则a的值为________．[解析]由f(x)＝x3＋ax＋14，得f′(x)＝3x2＋a.∵f′(0)＝a，f(0)＝14，∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－14＝ax.设直线y－14＝ax与曲线g(x)＝－lnx相切于点(x0，－lnx0)，g′(x)＝－1x，∴－lnx0－14＝ax0，①a＝－1x0，②将②代入①得lnx0＝34，∴x0＝e34，∴a＝－1e34＝－e－34.[答案]－e－34[题组训练]1．曲线y＝x－1x＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为()A.18B.14C.12D．1解析：选B因为y′＝2x＋12，所以y′x＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝2x，即y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S＝12×|－1|×12＝14.2．已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值为________．解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a0，x＝－lna，代入曲线方程得y＝1－lna，所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1⇒a＝1.答案：13．若一直线与曲线y＝lnx和曲线x2＝ay(a0)相切于同一点P，则a的值为________．解析：设切点P(x0，y0)，则由y＝lnx，得y′＝1x，由x2＝ay，得y′＝2ax，则有1x0＝2ax0，y0＝lnx0，x20＝ay0，解得a＝2e.答案：2e考点三定积分的运算及应用[题组训练]1.0π(sinx－cosx)dx＝________.解析：0π(sinx－cosx)dx＝0πsinxdx－0πcosxdx＝－cosxπ0－sinxπ0＝2.答案：22.1e1xdx＋－224－x2dx＝________.解析：1e1xdx＝lnxe1＝1－0＝1，因为－224－x2dx表示的是圆x2＋y2＝4在x轴及其上方的面积，故－224－x2dx＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组y＝x，x＋y＝2，y＝x，y＝－13x及x＋y＝2，y＝－13x，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以所求图形的面积S＝01x－－13xdx＋132－x－－13xdx＝01x＋13xdx＋132－23xdx＝23x32＋16x210＋