2020年高考理科数学一轮复习考点与题型全归纳第2章函数的概念与基本初等函数

第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例](1)(2019·长春质检)函数y＝ln1－xx＋1＋1x的定义域是()A．[－1,0)∪(0,1)B．[－1,0)∪(0,1]C．(－1,0)∪(0,1]D．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．(－1,1)B.－1，－12C．(－1,0)D.12，1[解析](1)由题意得1－x0，x＋10，x≠0，解得－1x0或0x1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u＝2x＋1，由f(x)的定义域为(－1,0)，可知－1u0，即－12x＋10，得－1x－12.[答案](1)D(2)B[解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y＝x0要求x≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；(5)正切函数y＝tanx，x≠kπ＋π2(k∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．[题组训练]1.函数f(x)＝1lnx＋1＋4－x2的定义域为()A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2]解析：选B由x＋10，lnx＋1≠0，4－x2≥0，得－1x≤2，且x≠0.2.若函数y＝f(x)的定义域是[1,2019]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域是________________．解析：因为y＝f(x)的定义域是[1,2019]，所以若g(x)有意义，应满足1≤x＋1≤2019，x－1≠0，所以0≤x≤2018，且x≠1.因此g(x)的定义域是{x|0≤x≤2018，且x≠1}．答案：{x|0≤x≤2018，且x≠1}考点二求函数的解析式[典例](1)已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)；(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．[解](1)法一：待定系数法因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以4a＝4，4a＋2b＝－6，a＋b＋c＝5，解得a＝1，b＝－5，c＝9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．法二：换元法令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝t－12，所以f(t)＝4t－122－6·t－12＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．法三：配凑法因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．(2)解方程组法由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝2x＋1－2－x3.故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－2－x3(x∈R)．[解题技法]求函数解析式的4种方法及适用条件(1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，再将t换成x，得到f(x)的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．(4)解方程组法已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[提醒]由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________________.解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx.又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x(x∈R)．答案：12x2＋12x(x∈R)2.[口诀第3句]已知f2x＋1＝lgx，则f(x)＝________________.解析：令2x＋1＝t，得x＝2t－1，则f(t)＝lg2t－1，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1(x1)．答案：lg2x－1(x1)3.[口诀第4句]已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，则f(x)＝________.解析：∵2f(x)＋f1x＝3x，①把①中的x换成1x，得2f1x＋f(x)＝3x.②联立①②可得2fx＋f1x＝3x，2f1x＋fx＝3x，解此方程组可得f(x)＝2x－1x(x≠0)．答案：2x－1x(x≠0)考点三分段函数考法(一)求函数值[典例](2019·石家庄模拟)已知f(x)＝log3x，x0，ax＋b，x≤0(0a1)，且f(－2)＝5，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()A．－2B．2C．3D．－3[解析]由题意得，f(－2)＝a－2＋b＝5，①f(－1)＝a－1＋b＝3，②联立①②，结合0a1，得a＝12，b＝1，所以f(x)＝log3x，x0，12x＋1，x≤0，则f(－3)＝12－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.[答案]B[解题技法]求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二)求参数或自变量的值(或范围)[典例](2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)[解析]法一：分类讨论法①当x＋1≤0，2x≤0，即x≤－1时，f(x＋1)f(2x)，即为2－(x＋1)2－2x，即－(x＋1)－2x，解得x1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当x＋1≤0，2x0时，不等式组无解．③当x＋10，2x≤0，即－1x≤0时，f(x＋1)f(2x)，即为12－2x，解得x0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当x＋10，2x0，即x0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．综上，不等式f(x＋1)f(2x)的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法∵f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知，要使f(x＋1)f(2x)，则需x＋10，2x0，2xx＋1或x＋1≥0，2x0，∴x0，故选D.[答案]D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f(x)＝x，0＜x＜1，2x－1，x≥1，若f(a)＝f(a＋1)，则f1a＝()A．2B．4C．6D．8解析：选C当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2a，解得a＝14或a＝0(舍去)．∴f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a≥1时，a＋1≥2，f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴2(a－1)＝2a，无解．综上，f1a＝6.2．已知函数f(x)＝2x，x≤1，fx－1，x1，则f(f(3))＝________.解析：由题意，得f(3)＝f(2)＝f(1)＝21＝2，∴f(f(3))＝f(2)＝2.答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x0，则满足f(x)＋fx－121的x的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0x≤12，x12讨论．①当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋121，解得x－14，故－14x≤0.②当0x≤12时，原不等式为2x＋x＋121，显然成立．③当x12时，原不等式为2x＋2x－121，显然成立．综上可知，所求x的取值范围是－14，＋∞.答案：－14，＋∞4．设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是____________．解析：若a0，则f(a)1⇔12a－71⇔12a8，解得a－3，故－3a0；若a≥0，则f(a)1⇔a1，解得a1，故0≤a1.综上可得－3a1.答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．故选B.2．函数f(x)＝2x－1＋1x－2的定义域为()A．[0,2)B．(2，＋∞)C．[0,2)∪(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C由题意得2x－1≥0，x－2≠0，解得x≥0，且x≠2.3．已知f12x－1＝2x－5，