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第一节随机事件的概率[基础梳理]1．事件的相关概念(1)必然事件：在一定条件下，一定发生的事件；(2)不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件；(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．3．事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A发生⇒B发生事件B包含事件A(事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA且AB事件A与事件B相等A＝B并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件A∩B为不可能事件事件A与事件B互斥A∩B＝对立事件A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件事件A与事件B互为对立事件A∩B＝，P(A∪B)＝14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．1．辨析两组概念(1)频率与概率．①频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变；②概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关；③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．(2)互斥事件与对立事件．①两个事件是互斥事件，它们未必是对立事件；②两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件．2．概率加法公式的推广．当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[四基自测]1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案：D2．一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．答案：13．甲、乙二人下棋，甲不输的概率为0.8，则乙获胜的概率为________．答案：0.24．一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________.(结果用最简分数表示)答案：7265．(2018·高考全国卷Ⅲ改编)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率0.15，则不用现金支付的概率为________．答案：0.4考点一随机事件的关系◄考基础——练透[例1](1)(2019·孝感模拟)把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对(2)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①恰有1名男生与恰有2名男生；②至少有1名男生与全是男生；③至少有1名男生与全是女生；④至少有1名男生与至少有1名女生．解析：(1)从红牌的去向来看，有4种可能，故事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．(2)①由互斥事件概念，“恰有1名男生”与“恰有2名男生”是互斥事件；但不是对立事件．②事件“至少有1名男生”与“全是男生”会同时发生，所以它们不是互斥事件．③“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；且它们必有一个发生，所以它们互为对立事件．④当选出的是1名男生与1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”两事件会同时发生，所以它们不是互斥事件．答案：(1)B(2)见解析将本例(2)中的条件“任选2名同学”改为“任选3名同学”，试写出事件“全是男生”的对立事件．解析：“任选3名同学”包括“全是男生”、“2男1女”、“1男2女”，所以“全是男生”的对立事件是“至少有1名女生”.1.准确把握互斥事件与对立事件的概念(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2．判别互斥、对立事件的方法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．[拓展]从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．1．(2019·临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件解析：根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．答案：D2．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了三组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球．其中互斥而不对立的事件共有()A．0组B．1组C．2组D．3组解析：对于①，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事件不互斥．对于②，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件．③“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球．故不是互斥事件．答案：A考点二随机事件的概率与频率◄考能力——知法[例2](1)从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37解析：取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.答案：A(2)(2019·深圳模拟)某花店每天以每朵5元的价格从农场购进若干朵玫瑰花，然后以每朵10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．①若花店一天购进17朵玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：朵，n∈N)的函数解析式．②花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：朵)，整理如下表所示，日需求量n14151617181920频数10201616151310(ⅰ)假设花店在这100天内每天购进17朵玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；(ⅱ)若花店一天购进17朵玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解析：①当日需求量n≥17时，利润y＝85；当日需求量n＜17时，利润y＝10n－85；所以利润y关于当天需求量n的函数解析式y＝10n－85，n＜1785，n≥17(n∈N*)．②(ⅰ)这100天的日利润的平均数为55×10＋65×20＋75×16＋85×54100＝76.4(元)；(ⅱ)当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16朵，故当天的利润不少于75元的概率为P＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.1.计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．(2)由频率与概率的关系得所求．2.求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求.1．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析：由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.4375，即本次竞赛获奖的概率大约是0.4375.答案：320.43752．(2018·高考北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率．(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解析：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50.故所求概率为502000＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－3722000＝0.814(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．考点三互斥事件、对立事件的概率◄考基础——练透[例3](1)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A．0.7B．0.65C．0.35D．0.5解析：因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率P＝1－P(A)＝0.35.答案：C(2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求：①P(A)，P(B)，P(C)；②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解析：①P(A)＝11000，P(B)＝101000＝1100，P(C)＝501000＝120.②因为事件A，B，C两两互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11000＋1100＋120＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.③P(A∪B)＝1－P(A＋B)＝1－(11000＋1100)＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.求互斥事件概率的方法方法解读适合题型直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算根据互斥事件定义分析，正面分类较少的间接法利用古典概型、