2020年高考文科数学一轮复习导学案第8章平面解析几何

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[基础梳理]1．直线的倾斜角(1)定义：(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)．2．直线的斜率条件公式直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan_θ直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)且x1≠x2k＝y1－y2x1－x23.两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在4.直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)y－y1＝k(x－x1)不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线续表名称已知条件方程适用范围两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，bxa＋yb＝1(a≠0，b≠0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1，P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k＝tanα，图象为：(2)当倾斜角为时，直线垂直于x轴，斜率不存在．2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.[四基自测]1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A.33B.3C．－3D．－33答案：A2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34，则直线l的方程为()A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0答案：A3．已知直线斜率的绝对值为1，其倾斜角为________．答案：π4或34π4．过点(5,0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________．答案：3x＋5y－15＝0或7x＋5y－35＝0考点一直线的倾斜角与斜率◄考基础——练透[例1](1)(2019·常州模拟)若ab0，则过点P0，－1b与Q1a，0的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．(2)直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，求a的取值范围．解析：(1)kPQ＝－1b－00－1a＝ab0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为π2，π.(2)当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－aa＋1.则有－aa＋11或－aa＋10，解得－1a－12或a－1或a0.综上可知，实数a的取值范围是－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：(1)(π2，π)(2)见解析1．三个不同的点A(2,3)，B(－1,5)，C(x，x2＋2x＋6)共线，则实数x的值为________．解析：因为三个不同的点A(2,3)，B(－1,5)，C(x，x2＋2x＋6)共线，所以由斜率公式得5－3－1－2＝x2＋2x＋6－3x－2，解得x＝－1或－53，当x＝－1时，点C，B重合，舍去．所以x＝－53.答案：－532．(2019·太原模拟)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．解析：如图所示，kPA＝1＋31－2＝－4，kPB＝1＋21＋3＝34.要使直线l与线段AB有交点，则有k≥34或k≤－4.答案：(－∞，－4]∪34，＋∞考点二求直线方程◄考能力——知法[例2]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程．(3)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解析：(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和P(3,2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，即l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(2)法一：由题意可设直线方程为xa＋yb＝1.则a＋b＝6，2a＋1b＝1，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.法二：设直线方程为y＝kx＋b，则在x轴上的截距为－bk，所以b＋－bk＝6，①又直线过点(2,1)，则2k＋b＝1.②由①②得k＝－1，b＝3或k＝－12，b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.(3)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时，斜率k＝－25，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0，综上可知，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.1．求直线方程的方法方法解读题型直接法直接求出直线方程所需要的标量适合于直线标量易求的题目待定系数法设出直线方程形式，待定其中的标量适合于条件较多而隐含的题目2.考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．1．在本例(1)中，过点(3,2)，且在两轴上截距互为相反数的直线方程是什么？解析：(1)若直线过原点，适合题意，其方程为y＝23x，即2x－3y＝0.(2)若直线不过原点，设直线方程为xa＋y－a＝1，∴3a－2a＝1，∴a＝1，方程为x－y－1＝0.综上，直线方程为2x－3y＝0或x－y－1＝0.2．在本例(3)中，改为“过点A(－5,2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为92”，求直线方程．解析：设所求直线在x轴的截距为a，在y轴上的截距为b，则－5a＋2b＝112|ab|＝92，∴a＝－3b＝－3，或a＝152b＝65.∴方程为x＋y＋3＝0或4x＋25y－30＝0.考点三两条直线的位置关系◄考基础——练透[例3](1)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，故l1∥l2.当l1∥l2时，若l1与l2斜率不存在，则a＝0；若l1与l2斜率都存在，则a≠0，有－a＋1a2＝－2a且3a2≠2a＋1a，解得a∈，故当l1∥l2时，有a＝0.故选C.答案：C(2)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故选A.答案：A两直线位置关系的判断方法方法平行垂直适合题型化成斜截式k1＝k2，且b1≠b2k1k2＝－1斜率存在一般式设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0无限制直接法k1与k2都不存在，且b1≠b2k1与k2中一个不存在，另一个为零k不存在1．如果直线ax＋(1－b)y＋5＝0和(1＋a)x－y－b＝0同时平行于直线x－2y＋3＝0，求ab.解析：法一：由题意，得a·－2－1－b·1＝0，1＋a·－2－－1×1＝0.解得a＝－12，b＝0.易知此时它们的截距也不相等，所以ab＝0.法二：直线x－2y＋3＝0的斜率为12，则另两条直线的斜率一定存在且等于12，所以12＝－a1－b＝－1＋a－1，解得a＝－12，b＝0，易知此时它们的截距也不相等，所以ab＝0.2．若过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y＋2＝0平行，则m的值为________．解析：∵过点A，B的直线平行于直线2x＋y＋2＝0，∴kAB＝4－mm＋2＝－2，解得m＝－8.答案：－8逻辑推理、直观想象_求直线方程的易错问题(一)直线方程是解析几何的入门内容，基本概念、公式较多，由于学生对直线的构成要素理解不清或方程形式认识欠缺，而导致错误.1.对倾斜的概念与范围理解有误[例1]已知直线l过点(2,1)，且与x轴的夹角为45，求直线l的方程．解析：由直线l与x轴的夹角为45知，直线l的倾斜角为45或135．当直线l的倾斜角为45时，其斜率为k＝tan45＝1，而直线l过点(2,1)，故其方程为y－1＝x－2，即y＝x－1；当直线l的倾斜角为135时，其斜率为k＝tan135＝－1，而直线l过点(2,1)，故其方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.综上所述，所求直线方程为y＝x－1或y＝－x＋3.2.忽略两直线平行与重合的区别例2已知直线l1：x＋m2y＋6＝0与l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0平行，则实数m＝________.解析：(1)若两直线的斜率都存在，设斜率分别为k1，k2，截距分别为b1，b2，则k1＝－1m2，k2＝－m－23m，b1＝－6m2，b2＝－23.因为l1∥l2，故k1＝k2且b1≠b2，即－1m2＝－m－23m且－6m2≠－23，解得m＝－1.(2)若两直线的斜率都不存在，则m＝0.综上所述，m＝－1或0.答案：－1或0课时规范练A组基础对点练1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a，b满足()A．a＋b＝1B．a－b＝1C．a＋b＝0D．a－b＝0解析：因为sinα＋cosα＝0，所以tanα＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－ab，所以－ab＝－1，即a－b＝0.答案：D2．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是()A．[－3，1]B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C.－33，1D.－∞，－33∪[1，＋∞)解析：因为kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，所以k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：B3．(2019·开封模拟)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14的直线方程为()A．3x＋4y＋15＝0B．3x＋4y＋6＝0C．3x＋y＋6＝0D．3x－4y＋10＝0解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－34，又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.答案：A4．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是()A．－1＜k＜15B．k＞1或k＜12C．k＞1或k＜15D．k＞12或k＜－1解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－2k，则－3＜1－2k＜3，解得k＞12或k＜－1.答案：D5．(2019·张家口模拟)若直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x－y＝33的倾斜角的2倍，则()A．m＝－3，n＝1B．m＝－3，n＝－3C．m＝3，n＝－3D．m＝3，n＝1解析：