2020年高考文科数学一轮复习导学案第5章数列

第一节数列的概念与简单表示法[基础梳理]1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.4．数列的分类1．与函数的关系：数列是一种特殊的函数，定义域为N*或其有限子集数列的图象是一群孤立的点．2．周期性：若an＋k＝an(n∈N*，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．[四基自测]1.(教材改编)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an}的项的是()A．21B．33C．152D．153答案：C2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋1an－1(n≥2)，则a4＝()A.32B.53C.74D.85答案：B3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是()A．27B．28C．29D．30答案：B4．(2018·高考全国卷Ⅰ改编)记Sn为{an}的前n项和，若3Sn＝Sn－1＋Sn＋1(n≥2)，a1＝2，a2＝－1，则a5为________．答案：35．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式an＝________.答案：n2n－1考点一已知数列的前几项写通项公式◄考基础——练透[例1](1)下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…，的通项公式的是()A．an＝1B．an＝－1n＋12C．an＝2－sinnπ2D．an＝－1n－1＋32(2)根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：①－1,7，－13,19，…；②0.8,0.88,0.888，…；③12，14，－58，1316，－2932，6164，…；④32，1，710，917，…；⑤0,1,0,1，….解析：(1)由an＝2－sinnπ2可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….故选C.(2)①符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．②将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝891－110n.③各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n.④将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.⑤an＝0，n为奇数，1，n为偶数.答案：(1)C(2)见解析由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑤对于正负号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．写出下列各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….解析：(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1，n∈N*.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n，n∈N*.(3)奇数项为负，偶数项为正，故第n项的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以an＝13(10n－1)，n∈N*.考点二已知递推关系求通项公式◄考能力——知法[例2]根据下列已知条件，求数列{an}的通项公式：累加法：(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n；累乘法：(2)a1＝12，an＝n－1n＋1an－1(n≥2)；构造法：(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3；构造法：(4)a1＝56，an＋1＝13an＋12n＋1；取倒数：(5)a1＝1，an＝an－13an－1＋1；取对数：(6)a1＝3，an＋1＝a2n.解析：(1)∵an＋1＝an＋ln1＋1n，∴an＋1－an＝lnn＋1n(n≥1)，∴an－an－1＝lnnn－1(n≥2)，∴an－1－an－2＝lnn－1n－2，…，a2－a1＝ln21(n≥2)，∴an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21＝lnn(n≥2)，∴an＝lnn＋a1(n≥2)，又a1＝2，∴an＝lnn＋2.(2)因为an＝n－1n＋1an－1(n≥2)，所以当n≥2时，anan－1＝n－1n＋1，所以anan－1＝n－1n＋1，…，a3a2＝24，a2a1＝13，以上n－1个式子相乘得anan－1·an－1an－2·…·a3a2·a2a1＝n－1n＋1·n－2n·…·24·13，即ana1＝1n＋1·1n×2×1，所以an＝1nn＋1.当n＝1时，a1＝11×2＝12，也与已知a1＝12相符，所以数列{an}的通项公式为an＝1nn＋1.(3)设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3，故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.(4)在an＋1＝13an＋12n＋1两边分别乘以2n＋1，得2n＋1·an＋1＝23(2n·an)＋1.令bn＝2n·an，则bn＋1＝23bn＋1，根据待定系数法，得bn＋1－3＝23(bn－3)．所以数列{bn－3}是首项为b1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列．所以bn－3＝－43·23n－1，即bn＝3－223n.于是，an＝bn2n＝312n－213n.(5)取倒数，得1an＝3an－1＋1an－1＝3＋1an－1.∴1an是等差数列，1an＝1a1＋3(n－1)＝1＋3(n－an＝13n－2.(6)由题意知an0，将an＋1＝a2n两边取常用对数得到lgan＋1＝2lgan，即lgan＋1lgan＝2，所以数列{lgan}是以lga1＝lg3为首项，2为公比的等比数列．所以lgan＝(lg3)·2n－1，所以an＝32n－1.由递推公式求通项的方法方法转化过程适合题型累加法(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an－a1an＋1－an＝f(n)(f(n)可求和)累乘法a2a1×a3a2×…×an－1an－2×anan－1＝ana1an＋1an＝f(n)，f(n)可求积构造法由an＋1＝pan＋q化为an＋1＋m＝p(an＋m)，构造{an＋m}为等比数列an＋1＝pan＋q辅助数列法由an＋1＝pan＋qn化为an＋1qn＋1＝p·anq·qn＋1q，放入辅助数列{bn}，bn＋1＝pqbn＋1q，再构造数列an＋1＝pan＋rqn取倒数法an＝man－1kan－1＋b取倒数得1an＝kbm·1an－1＋km，令bn＝1anan＝man－1kan－1＋b取对数对an＝parn－1化为lgan＝rlgan－1＋lgp令bn＝lganan＝parn－1(n≥2，p0)1．将本例(1)改为：在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2，则an＝________.解析：因为an＋1－an＝3n＋2，所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以an＝32n2＋n2.答案：32n2＋n22．将本例(2)改为已知数列{an}中，a1＝1，(n＋1)an＝nan＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：由(n＋1)an＝nan＋1，可得an＋1an＝n＋1n.∴当n≥2时，anan－1＝nn－1，an－1an－2＝n－1n－2，…，a3a2＝32，a2a1＝2.将以上各式累乘求得ana1＝n，∴an＝n，而n＝1也适合．∴数列的通项公式为an＝n.答案：n3．将本例(3)改为在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2.求an.解析：因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3.又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.考点三Sn与an的关系的应用◄考素养——懂理[例3](1)(2018·菏泽模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3－2＋1＝2，当n≥2时，Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，∴an＝2，n＝16n－5，n≥2.答案：an＝2，n＝16n－5，n≥2(2)(2019·广东化州第二次模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________．解析：由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝3，n＝1，2n，n≥2.答案：an＝3，n＝12n，n≥21.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．2.Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．1．(2019·广东江门模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，若n∈N*,2Sn＝an＋1，则a2018＝________.解析：∵2Sn＝an＋1，∴2Sn－1