2020年高考文科数学一轮复习导学案第2章函数导数及其应用

第一节函数及其表示[基础梳理]1．函数的概念(1)设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的三要素函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中①定义域：自变量x的取值范围；②值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．两种对应关系f：A→B表示从A到B的一个函数，即从A到B的元素是一对一或多对一，值域为B的子集．2．两个关注点(1)分段函数是一个函数．(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．3．函数的三要素与相等函数函数的三要素为定义域、对应法则和值域，而值域是由定义域和对应法则确定的，故如果两个函数的定义域、对应法则分别相同，这两个函数为相等函数．[四基自测]1．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1C．y＝x2x＋1D．y＝x2＋1答案：B2．函数f(x)＝2x－1＋1x－2的定义域为()A．[0，2)B．(2，＋∞)C．[0，2)∪(2，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案：C3．若f(x)＝x2＋bx＋c且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________．答案：x2－4x＋34．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1，∴1＝log2(9＋a)，∴9＋a＝2，∴a＝－7.答案：－75．已知函数f(x)＝ex，x≤0lnx，x＞0，则f(f(1e))＝________．答案：1e考点一求函数的定义域◄考基础——练透[例1](1)函数f(x)＝3xx－2＋lg(3－x)的定义域是()A．(3，＋∞)B．(2，3)C．[2，3)D．(2，＋∞)(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，3]，则函数g(x)＝f（3x）x－1的定义域是()A．[0，1)B．[0，1]C．[0，1)∪(1，9]D．(0，1)解析：(1)由题意得x－2＞0，3－x＞0，解得2＜x＜3，故选B.(2)依题意得0≤3x≤3，x－1≠0，即0≤x＜1，因此函数g(x)的定义域是[0，1)，故选A.答案：(1)B(2)A1．将本例(1)的函数改为f(x)＝x－2＋lg(3－x)，其定义域如何选？解析：x－2≥03－x＞0得x≥2x＜3，故选C.2．若本例(2)的条件不变，求g(x)＝f（2x）（x－1）0的定义域．解析：0≤2x≤3x－1≠0，∴0≤x≤32x≠1，定义域为[0，1)∪(1，32]．考点二求函数的解析式◄考能力——知法[例2](1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________．(2)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则f(x)的解析式为________________．(3)已知函数f(x)满足f(x)＝2f1x＋x，求f(x)的解析式．解析：(1)法一：设t＝x＋1(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)由题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴a2＝4，ab＋b＝3，解得a＝－2，b＝－3或a＝2，b＝1.故所求解析式为f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1.(3)由f(x)＝2f1x＋x①，得f1x＝2f(x)＋1x②，①＋②×2得f(x)＝x＋4f(x)＋2x，则f(x)＝－23x－13x.答案：(1)f(x)＝x2－1(x≥1)(2)f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1(3)见解析求函数解析式的四个方法方法解读适合题型配凑法由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式形如y＝f(g(x))的函数解析式换元法对于形如y＝f(g(x))的函数解析式，可令t＝g(x)，从中求出x＝φ(t)，然后代入表达式求出f(t)，得到关于t的解析式，再将t换成x，得到f(x)的解析式，此时自变量x的定义域就是t＝g(x)的值域形如y＝f(g(x))的函数解析式待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程已知所求曲线的种类和函数解析式的具体形式(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数，从而得到所求函数的解析式解方程组法已知f(x)与f(g(x))满足的关系式，要求f(x)时，可用φ(x)代替两边的所有x，得到关于f(x)及f(φ(x))的方程组，解之即可得出f(x)已知关于f(x)与f1x或f(x)与f(－x)的表达式1．如果f1x＝x1－x，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于()A.1xB.1x－1C.11－xD.1x－1解析：令t＝1x，得x＝1t，∴f(t)＝1t1－1t＝1t－1，∴f(x)＝1x－1.答案：B2．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，∴a＝2，b＋5a＝17，解得a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.答案：2x＋73．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1，则f(x)＝________．解析：在f(x)＝2f1xx－1中，用1x代替x，得f1x＝2f(x)1x－1，将f1x＝2f（x）x－1代入f(x)＝2f1xx－1中，可求得f(x)＝23x＋13.答案：23x＋13考点三分段函数及应用◄考素养——懂理角度1已知自变量求函数值[例3](1)(2019·合肥一模)已知函数f(x)＝x＋1x－2，x＞2，x2＋2，x≤2，则f[f(1)]＝()A．－12B．2C．4D．11解析：∵函数f(x)＝x＋1x－2，x＞2，x2＋2，x≤2，∴f(1)＝12＋2＝3，∴f[f(1)]＝f(3)＝3＋13－2＝4.故选C.答案：C(2)(2018·高考江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝cosπx2，0＜x≤2，x＋12，－2＜x≤0，则f(f(15))的值为________．解析：由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝－1＋12＝12，所以f(f(15))＝f(12)＝cosπ4＝22.答案：22对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，代入相应的解析式直接求解．其关键点为：(1)判断，判断所给自变量符合哪个解析式；(2)转化，若所给自变量都不属于所给区间或所给区间的解析式不确定，要进行转化；(3)求值，对形如f(g(x))型的求值，遵循由里向外求解；(4)结论.角度2给定函数值求自变量[例4](1)已知f(x)＝x12，x∈[0，＋∞），|sinx|，x∈－π2，0，若f(a)＝12，则a＝__________．解析：若a≥0，由f(a)＝12得，a12＝12，解得a＝14；若a0，则|sina|＝12，a∈－π2，0，解得a＝－π6.综上可知，a＝14或－π6.答案：14或－π6(2)已知函数f(x)＝2x－2，x≤1，－log2（x＋1），x＞1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________．解析：当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；当a＞1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－32.答案：－32若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，利用函数值构造方程．其关键点为：(1)讨论，对所求自变量分段讨论，得出相应函数值；(2)解方程，由函数值相等构造方程，并解方程；(3)得结论，将符合自变量相应范围的解写出来.角度3分段函数与不等式问题[例5](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x＞0，则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1，0)D．(－∞，0)解析：法一：①当x＋1≤0，2x≤0，即x≤－1时(x＋1)＜(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当x＋1≤0，2x＞0时，不等式组无解．③当x＋1＞0，2x≤0，即－1＜x≤0时(x＋1)＜(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．④当x＋1＞0，2x＞0，即x＞0时(x＋1)＝1(2x)＝1，不合题意．综上(x＋1)＜(2x)的解集为(－∞，0)．故选D.法二：∵(x)＝2－x，x≤0，1，x＞0，∴函数(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数(x)为减函数，故(x＋1)＜(2x)转化为x＋1＞2x.此时x≤－1.当2x＜0且x＋1＞0时(2x)＞1(x＋1)＝1，满足(x＋1)＜(2x)．此时－1＜x＜0.综上，不等式(x＋1)＜(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D.答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x＞0，则满足f(x)＋f(x－12)＞1的x的取值范围是________．解析：当x＞12时，f(x)＋f(x－12)＝2x＋2x－12＞2x＞2＞1；当0＜x≤12时，f(x)＋f(x－12)＝2x＋(x－12)＋1＝2x＋x＋12＞2x＞1；当x≤0时，f(x)＋f(x－12)＝x＋1＋(x－12)＋1＝2x＋32，∴f(x)＋f(x－12)＞1⇒2x＋32＞1⇒x＞－14，即－14＜x≤0.综上，x∈(－14，＋∞)．答案：(－14，＋∞)分段讨论构建不等式或者利用图象数形结合.其关键点为：(1)讨论：分段讨论相应的自变量，构建不等式(组)；(2)求解，解不等式要与自变量所在的区间求交集；(3)结论，将各段上所得的解集求并集得结论.角度4分段函数与方程问题[例6](2018·高考浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，x＜λ.当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．解析：(1)当λ＝2时，f(x)＝x－4，x≥2，x2－4x＋3，x＜2，其图象如图(1)．由图知f(x)＜0的解集为(1，4)．(2)f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，x＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．答案：(1，4)(1，3]∪(4，＋∞)解决与分段函数有关的方