2020届高考数学理一轮复习讲义96双曲线

§9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以选择、填空题为主，难度为中低档．一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)概念方法微思考1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．2．方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A0，B0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A0，B0，表示焦点在y轴上的双曲线．所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB0.3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a0，b0，二者没有大小要求，若ab0，a＝b0,0ab，双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响．∵e＝ca＝1＋ba2，故当ab0时，1e2，当a＝b0时，e＝2(亦称等轴双曲线)，当0ab时，e2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．(√)题组二教材改编2．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝bca2＋b2＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5.3．已知ab0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0答案A解析椭圆C1的离心率为a2－b2a，双曲线C2的离心率为a2＋b2a，所以a2－b2a·a2＋b2a＝32，即a4＝4b4，所以a＝2b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±12x，即x±2y＝0.4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案x215－y215＝1解析设双曲线的方程为x2a2－y2a2＝±1(a0)，把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为x215－y215＝1.题组三易错自纠5．(2016·全国Ⅰ)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，3)C．(0,3)D．(0，3)答案A解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得－m2n3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1n3，故选A.6．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53答案D解析由条件知y＝－bax过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝53.故选D.7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为__________．答案x24－y2＝1解析由双曲线的渐近线方程为y＝±12x，可设该双曲线的标准方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x24－y2＝1.题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2|F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.答案34解析∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，∴|PF1|＝2|PF2|＝42，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝422＋222－422×42×22＝34.引申探究1．本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴12FPFS＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.2．本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1→·PF2→＝0”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，∵PF1→·PF2→＝0，∴PF1→⊥PF2→，∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，∴|PF1|·|PF2|＝4，∴12FPFS＝12|PF1|·|PF2|＝2.思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．跟踪训练1设双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．答案(27，8)解析如图，由已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足m＋22m2＋42，42m＋22＋m2，解得－1＋7m3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴272m＋28.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2018·大连调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．答案x2－y28＝1(x≤－1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M(0,12)；③经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．解①设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.②∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.③设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn0)．∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解得m＝－175，n＝－125.∴双曲线的标准方程为y225－x275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB0)．②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2ka2)．跟踪训练2(1)(2018·沈阳调研)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．答案x216－y29＝1解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.即x216－y29＝1.(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1答案B解析由y＝52x，可得ba＝52.①由椭