2020届高考数学理一轮复习讲义93圆的方程

§9.3圆的方程最新考纲考情考向分析掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F0圆心坐标：－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F概念方法微思考1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？提示A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.2．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件？提示由题意可知，⊙C与y轴相切于原点时，圆心坐标为－D2，0，而D可以大于0，所以“E＝F＝0且D0”是“⊙C与y轴相切于原点”的充分不必要条件．3．如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．4．点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2r2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.(√)(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)题组二教材改编2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案A4．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.题组三易错自纠5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)答案B解析将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得x＋m22＋(y－1)2＝m24－2.由其表示圆可得m24－20，解得m－22或m22.6．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1a1B．0a1C．a1或a－1D．a＝±4答案A解析∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(a＋1)24，即－1a1.7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案A解析由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a,1)(a0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，∴|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.题型一圆的方程例1(1)已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为()A.x－322＋y2＝254B.x＋342＋y2＝2516C.x－342＋y2＝2516D.x－342＋y2＝254答案C解析方法一(待定系数法)根据题意，设圆E的圆心坐标为(a,0)(a0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a0)．由题意得a2＋12＝r2，2－a2＝r2，a2＋－12＝r2，解得a＝34，r2＝2516，所以圆E的标准方程为x－342＋y2＝2516.方法二(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则由题意得1＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，1－E＋F＝0，解得D＝－32，E＝0，F＝－1，所以圆E的一般方程为x2＋y2－32x－1＝0，即x－342＋y2＝2516.方法三(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－12＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为34，0.则圆E的半径为|EB|＝2－342＋0－02＝54，所以圆E的标准方程为x－342＋y2＝2516.(2)(2018·鞍山模拟)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，则圆C的方程为____________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析方法一所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a)．又∵所求圆与直线x－y＝0相切，∴半径r＝2|a|2＝2|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为6，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝|2a－3|2，∴d2＋622＝r2，即2a－322＋32＝2a2，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.方法二设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝|a－b－3|2，∴r2＝a－b－322＋32，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①由于所求圆与直线x－y＝0相切，∴(a－b)2＝2r2.②又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③联立①②③，解得a＝1，b＝－1，r＝2，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.方法三设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为－D2，－E2，半径r＝12D2＋E2－4F，∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－D2－E2＝0，即D＋E＝0，①又∵圆C与直线x－y＝0相切，∴－D2＋E22＝12D2＋E2－4F，即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②又知圆心－D2，－E2到直线x－y－3＝0的距离d＝－D2＋E2－32，由已知得d2＋622＝r2，∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③联立①②③，解得D＝－2，E＝2，F＝0，故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．跟踪训练1一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，则该圆的方程为_____________．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3|a|，又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为27，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝|2a|2，∴d2＋(7)2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.方法二设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线y＝x的距离为|a－b|2，∴r2＝a－b22＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9，即x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.方法三设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2，半径r＝12D2＋E2－4F.在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由于所求圆与y轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①圆心－D2，－E2到直线y＝x的距离为d＝－D2＋E22，由已知得d2＋(7)2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②又圆心－D2，－E2在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0.③联立①②③，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.题型二与圆有关的轨迹问题例2已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解(1)方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式