2020届高考数学理一轮复习讲义91直线的方程

§9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝|AB|＝x2－x12＋y2－y12.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.2.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围：[0°，180°).3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2).若直线的倾斜角为θθ≠π2，则k＝tanθ.4.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？提示倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k不存在；因为k＝tanαα≠π2.当α∈0，π2时，α越大，斜率k就越大，同样α∈π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)(2)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(√)题组二教材改编2.若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A.1B.4C.1或3D.1或4答案A解析由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.题组三易错自纠4.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A.0，π4B.3π4，πC.0，π4∪π2，πD.π4，π2∪3π4，π答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为－1a2＋1，又－1≤－1a2＋10，所以倾斜角的取值范围是3π4，π.5.如果A·C0且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA0，在y轴上的截距－CB0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.6.过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为.答案x－2y＋2＝0或x＝2解析①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k，依题意有12×2－2k×2＝2，即1－1k＝1，解得k＝12，所以直线m的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是()A.[0，π)B.0，π4∪34π，πC.0，π4D.0，π4∪π2，π答案B解析设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，又sinα∈[－1,1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θπ.(2)(2018·抚顺调研)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为.答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析如图，∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞).引申探究1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)，∴kAP＝1－02－－1＝13，kBP＝3－00－－1＝3.如图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.解如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).思维升华(1)倾斜角α与斜率k的关系①当α∈0，π2时，k∈[0，＋∞).②当α＝π2时，斜率k不存在.③当α∈π2，π时，k∈(－∞，0).(2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率.②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率.(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tanα的单调性.跟踪训练1(1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于()A.1±2或0B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0答案A解析∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，即a2＋a2－1＝a3＋a3－1，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±2.故选A.(2)直线l经过点A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是.答案π4，π2解析直线l的斜率k＝1＋m23－2＝1＋m2≥1，所以k＝tanα≥1.又y＝tanα在0，π2上是增函数，因此π4≤απ2.题型二求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.解(1)方法一设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.方法二由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.解方程组x＝1，2x＋y－6＝0，求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求.设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组2x＋y－6＝0，y＋1＝kx－1，得两直线交点为x＝k＋7k＋2，y＝4k－2k＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行).则B点坐标为k＋7k＋2，4k－2k＋2.由已知k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝52，解得k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.跟踪训练2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为α，则sinα＝1010(0απ)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4).即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a＝0，即l过(0,0)及(4,1)两点，∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(4,1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.题型三直线方程的综合应用命题点1与均值不等式相结合求最值问题例3(2018·包头模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当|MA→|·|MB→|取得最小值时直线l的方程.解设A(a,0)，B(0，b)，则a0，b0，直线l的方程为xa＋yb＝1，所以2a＋1b＝1.|MA→|·|MB→|＝－MA→·MB→＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)2a＋1b－5＝2ba＋2ab≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154，当a＝12时，四边形的面积最小.思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式求解最值