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§7.5合情推理与演绎推理最新考纲考情考向分析1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题.注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中低档题.1.合情推理合情推理归纳推理定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.特点：由特殊到一般，由具体到抽象类比推理定义：根据两类不同事物之间具有某些类似或一致性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似或相同的性质的推理.特点：由特殊到特殊2.归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).3.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).4.演绎推理由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.5.“三段论”可表示为①大前提：M是P；②小前提：S是M；③结论：所以，S是P.概念方法微思考1.合情推理所得结论一定是正确的吗？提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确.2.合情推理对我们学习数学有什么帮助？提示合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.3.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.(√)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋).(×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.(×)题组二教材改编2.已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A.an＝3n－1B.an＝4n－3C.an＝n2D.an＝3n－1答案C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想an＝n2.3.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________________.答案b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n17，n∈N＋)解析利用类比推理，借助等比数列的性质，b29＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n17，n∈N＋).题组三易错自纠4.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案C解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误.5.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.则正确的结论是________.(填序号)答案①④解析显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交.6.观察下列关系式：1＋x＝1＋x；()1＋x2≥1＋2x，()1＋x3≥1＋3x，……，由此规律，得到的第n个关系式为________.答案(1＋x)n≥1＋nx解析左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n个关系式为(1＋x)n≥1＋nx(n∈N＋).题型一归纳推理命题点1与数式有关的的推理例1(1)(2018·抚顺模拟)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是()A.18B.17C.16D.15答案B解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.(2)观察下列式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120182________.答案40352018解析由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2018，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a2017＝3＋(2017－1)×2＝4035.命题点2与图形变化有关的推理例2(2019·呼和浩特模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科.其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程.标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构.也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为()A.81B.121C.364D.1093答案C解析由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364，故选C.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与式子有关的推理.观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.跟踪训练1某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为()A.21B.34C.52D.55答案D解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.题型二类比推理例3(1)已知{an}为等差数列，a1010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.若{bn}为等比数列，b1010＝5，则{bn}类似的结论是()A.b1＋b2＋b3＋…＋b2019＝5×2019B.b1b2b3…b2019＝5×2019C.b1＋b2＋b3＋…＋b2019＝52019D.b1b2b3…b2019＝52019答案D解析在等差数列{an}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019，则S＝a2019＋a2018＋a2017＋…＋a1，∴2S＝(a1＋a2019)＋(a2＋a2018)＋(a3＋a2017)＋…＋(a2019＋a1)＝2019(a1＋a2019)＝2019×2a1010＝10×2019，∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.在等比数列{bn}中，令T＝b1b2b3…b2019，则T＝b2019b2018b2017…b1，∴T2＝(b1b2019)(b2b2018)(b3b2017)…(b2019b1)＝(b21010)2019，∴T＝b1b2b3…b2019＝(b1010)2019＝52019.(2)祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体.(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy坐标系中，设抛物线C的方程为y＝1－x2(－1≤x≤1)，将曲线C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4答案B解析构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直边长为2,1，若底面积相等得到：2x＝π×12，x＝π2.下面说明截面面积相等，设截面距底面为t，矩形截面长为a，圆形截面半径为r，由左图得到，a2＝1－t1，∴a＝2(1－t)，∴截面面积为2(1－t)×π2＝(1－t)π，由右图得到，t＝1－r2(坐标系中易得)，∴r2＝1－t，∴截面面积为(1－t)π，∴二者截面面积相等，∴体积相等.∴抛物体的体积为V三棱柱＝Sh＝12×2×1×π2＝π2.故选B.思维升华类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方).数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等.跟踪训练2在平面上，设ha，hb，hc是△ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：Paha＋Pbhb＋Pchc＝1.把它类比到空间中，则三棱锥中的类似结论为____________________.答案Paha＋Pbhb＋Pchc＋Pdhd＝1解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：Paha＋Pbhb＋Pchc＋Pdhd＝1.题型三演绎推理例4数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N＋).证明：(1)数列Snn是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.证明(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.∴Sn＋1n＋1＝2·Snn，又S11＝1≠0，(小前提)故Snn是以1为首项，2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n－1＋2n－1·Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)