2020届高考数学理一轮复习讲义76直接证明与间接证明

§7.6直接证明与间接证明最新考纲考情考向分析1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点.常以立体几何中的证明及相关选修内容中平面几何，不等式的证明为载体加以考查，注意提高分析问题、解决问题的能力；在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中档.1.直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件步骤的符号表示P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)2.间接证明(1)反证法的定义：一般地，由证明p⇒q转向证明綈q⇒r⇒…⇒tt与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：①分清命题的条件和结论；②做出与命题结论相矛盾的假定；③由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.概念方法微思考1.直接证明中的综合法是演绎推理吗？提示是.用综合法证明时常省略大前提.2.综合法与分析法的推理过程有何区别？提示综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的.3.反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？提示不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.(×)(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.(×)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(×)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.(√)(6)证明不等式2＋73＋6最合适的方法是分析法.(√)题组二教材改编2.若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A.PQB.P＝QC.PQD.由a的取值确定答案A解析P2＝2a＋13＋2a2＋13a＋42，Q2＝2a＋13＋2a2＋13a＋40，∴P2Q2，又∵P0，Q0，∴PQ.3.设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则ax＋cy等于()A.1B.2C.4D.6答案B解析由题意，得x＝a＋b2，y＝b＋c2，b2＝ac，∴xy＝a＋bb＋c4，ax＋cy＝ay＋cxxy＝a·b＋c2＋c·a＋b2xy＝ab＋c＋ca＋b2xy＝ab＋bc＋2ac2xy＝ab＋bc＋ac＋b22xy＝a＋bb＋c2xy＝a＋bb＋c2×a＋bb＋c4＝2.题组三易错自纠4.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A.ac2bc2B.a2abb2C.1a1bD.baab答案B解析a2－ab＝a(a－b)，∵ab0，∴a－b0，∴a2－ab0，∴a2ab.①又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，②由①②得a2abb2.5.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是()A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.6.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________.答案等边三角形解析由题意得2B＝A＋C，∵A＋B＋C＝π，∴B＝π3，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，∴△ABC为等边三角形.题型一综合法的应用例1已知a，b，c0，a＋b＋c＝1.求证：(1)a＋b＋c≤3；(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.证明(1)∵(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)＋2ab＋2bc＋2ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，∴a＋b＋c≤3(当且仅当a＝b＝c时取等号).(2)∵a0，∴3a＋11，∴43a＋1＋(3a＋1)≥243a＋13a＋1＝4，∴43a＋1≥3－3a当且仅当a＝13时，取等号，同理得43b＋1≥3－3b，43c＋1≥3－3c，以上三式相加得413a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥9－3(a＋b＋c)＝6，∴13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32(当且仅当a＝b＝c＝13时取等号).思维升华(1)从已知出发，逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法；(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程，也是使用的综合法.跟踪训练1设Tn是数列{an}的前n项之积，并满足：Tn＝1－an.(1)证明：数列1Tn是等差数列；(2)令bn＝ann2＋n，证明：{bn}的前n项和Sn34.证明(1)∵an＋1＝Tn＋1Tn＝1－an＋11－an⇒an＋11－an＋1＝11－an⇒11－an＋1－11－an＝1，∴1Tn＋1－1Tn＝1，又∵T1＝1－a1＝a1，∴a1＝12，∴1T1＝11－a1＝2，∴数列1Tn是以2为首项，公差为1的等差数列.(2)∵1Tn＝1T1＋(n－1)×1，∴11－an＝n＋1⇒an＝nn＋1(n∈N＋)，∴bn＝ann2＋n＝1n＋12＝1n2＋2n＋11n2＋2n＝121n－1n＋2，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn12×11－13＋12－14＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝12×32－1n＋1－1n＋212×32＝34.题型二分析法的应用例2已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.证明要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，即证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，也就是ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.于是原等式成立.思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法.跟踪训练2已知a0，证明：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2≥a＋1a－(2－2).因为a0，所以a＋1a－(2－2)0，所以只需证a2＋1a22≥a＋1a－2－22，即2(2－2)a＋1a≥8－42，只需证a＋1a≥2.因为a0，a＋1a≥2显然成立当a＝1a＝1时等号成立，所以要证的不等式成立.题型三反证法的应用例3设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立.证明由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.(1)由均值不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立.(2)假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾.故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立.思维升华反证法的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论；(2)作出与命题的结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不成立，原结论成立，从而间接地证明原命题为真.跟踪训练3等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解设等差数列{an}的公差为d.由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，所以d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)(n∈N＋).(2)证明由(1)得bn＝Snn＝n＋2，假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N＋，且互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr.即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，所以(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0，因为p，q，r∈N＋，所以q2－pr＝0，2q－p－r＝0，所以p＋r22＝pr，(p－r)2＝0，所以p＝r，与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.1.在△ABC中，sinAsinCcosAcosC，则△ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案C解析由sinAsinCcosAcosC得cosAcosC－sinAsinC0，即cos(A＋C)0，所以A＋C是锐角，从而Bπ2，故△ABC必是钝角三角形.2.分析法又称执果索因法，已知x0，用分析法证明1＋x1＋x2时，索的因是()A.x21B.x24C.x20D.x21答案C解析因为x0，所以要证1＋x1＋x2，只需证(1＋x)21＋x22，即证0x24，即证x20，因为x0，所以x20成立，故原不等式成立.3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x20，则f(x1)＋f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x20，可知x1－x2，f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)0.4.(2018·阜新调研)设x，y，z为正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2答案C解析假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c6，而a＋b＋c＝x＋1y＋y＋1z＋z＋1x＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c6矛盾，∴a，b，c都小于2错误.∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.5.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b1；②a＋b＝2；③a＋b2；④a2＋b22；⑤ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A.②③B.①②③C.③D.③④⑤答案C解析若a＝12，b＝23，则a＋b1，但a1，b1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b22，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab1，故⑤推不出；对于③，即a＋b2，则a，b中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.6.用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假