2020届高考数学理一轮复习讲义72均值不等式及其应用

§7.2均值不等式及其应用最新考纲考情考向分析1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.主要考查利用基本不等式求最值.常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档.1.均值不等式：ab≤a＋b2(1)均值不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)ba＋ab≥2(a，b同号).(3)ab≤a＋b22(a，b∈R).(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3.算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均值为a＋b2，几何平均值为ab，均值不等式可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.4.利用均值不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值.2.函数y＝x＋1x的最小值是2吗？提示不是.因为函数y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当x0时，y0，所以函数y＝x＋1x无最小值.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4.(×)(2)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件.(×)(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(√)(4)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a.(×)(5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件.(×)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(√)题组二教材改编2.设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82答案C解析∵x0，y0，∴x＋y2≥xy，即xy≤x＋y22＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.3.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案25解析设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，其中0x10，∴y＝x(10－x)≤x＋10－x22＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.题组三易错自纠4.“x0”是“x＋1x≥2成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析当x0时，x＋1x≥2x·1x＝2.因为x，1x同号，所以若x＋1x≥2，则x0，1x0，所以“x0”是“x＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.5.若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A.1＋2B.1＋3C.3D.4答案C解析当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.6.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是()A.2B.3C.4D.5答案D解析由3x＋y＝5xy，得3x＋yxy＝3y＋1x＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·153y＋1x＝154＋9＋3yx＋12xy≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3yx＝12xy，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.故选D.题型一利用均值不等式求最值命题点1配凑法例1(1)已知0x1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________.答案23解析x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·3x＋4－3x22＝43，当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号.(2)函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值为________.答案23＋2解析∵x1，∴x－10，∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－2＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立.命题点2常数代换法例2(2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足ama2n＝a24(m，n∈N＋)，则2m＋1n的最小值为()A.1B.32C.2D.92答案A解析由题意可得，a1＝q，∵ama2n＝a24，∴a1·qm－1·(a1·qn－1)2＝(a1·q3)2，即qm·q2n＝q8，即m＋2n＝8.∴2m＋1n＝(m＋2n)2m＋1n×18＝2＋mn＋4nm＋2×18≥()4＋24×18＝1.当且仅当m＝2n时，即m＝4，n＝2时，等号成立.命题点3消元法例3已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝2a＋3ba＋b()A.有最大值145B.有最小值145C.有最小值3D.有最大值3答案B解析∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又∵a，b0，∴aa＋b≤aa2＋a＋4，∴－aa＋b≥－aa2＋a＋4，∴u＝2a＋3ba＋b＝3－aa＋b≥3－aa2＋a＋4＝3－1a＋4a＋1≥3－12a·4a＋1＝145，当且仅当a＝2，b＝8时取等号.故选B.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用均值不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.跟踪训练1(1)(2019·丹东质检)设x0，y0，若xlg2，lg2，ylg2成等差数列，则1x＋9y的最小值为()A.8B.9C.12D.16答案D解析∵xlg2，lg2，ylg2成等差数列，∴2lg2＝(x＋y)lg2，∴x＋y＝1.∴1x＋9y＝(x＋y)1x＋9y≥10＋2yx·9xy＝10＋6＝16，当且仅当x＝14，y＝34时取等号，故1x＋9y的最小值为16.故选D.(2)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则4a＋1＋1b＋c的最小值是()A.2B.3C.4D.6答案B解析∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，∴a＋b＋c＋1＝3，且a＋10，b＋c0.∴4a＋1＋1b＋c＝13·(a＋1＋b＋c)·4a＋1＋1b＋c＝135＋4b＋ca＋1＋a＋1b＋c≥13(5＋4)＝3.当且仅当a＋1＝2(b＋c)，即a＝1，b＋c＝1时，等号成立.故选B.题型二均值不等式的综合应用命题点1均值不等式与其他知识交汇的最值问题例4在△ABC中，点P满足BP→＝2PC→，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AM→＝mAB→，AN→＝nAC→(m0，n0)，则m＋2n的最小值为()A.3B.4C.83D.103答案A解析∵AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋23()AC→－AB→＝13AB→＋23AC→＝13mAM→＋23nAN→，∵M，P，N三点共线，∴13m＋23n＝1，∴m＋2n＝(m＋2n)13m＋23n＝13＋43＋2n3m＋2m3n≥53＋22n3m×2m3n＝53＋43＝3，当且仅当m＝n＝1时等号成立.命题点2求参数值或取值范围例5(2018·包头模拟)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8答案B解析已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于9，∵1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4，故选B.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用均值不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.跟踪训练2(1)在△ABC中，A＝π6，△ABC的面积为2，则2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC的最小值为()A.32B.334C.32D.53答案C解析由△ABC的面积为2，所以S＝12bcsinA＝12bcsinπ6＝2，得bc＝8，在△ABC中，由正弦定理得2sinCsinC＋2sinB＋sinBsinC＝2cc＋2b＋bc＝2cbbc＋2b＋b2bc＝168＋2b2＋b28＝84＋b2＋b2＋48－12≥284＋b2·b2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b＝2，c＝4时，等号成立，故选C.(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则8a＋bab的最小值是()A.10B.9C.8D.32答案B解析由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2a＋b＝2，所以8a＋bab＝1a＋8b＝121a＋8b(2a＋b)＝1210＋ba＋16ab≥1210＋2ba·16ab＝12(10＋8)＝9，当且仅当ba＝16ab，即a＝13，b＝43时等号成立，所以8a＋bab的最小值为9，故选B.利用均值不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题.过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题.例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k⇒k＝2，∴x＝3－2m＋1，每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2019年的利润y＝1.5x×8＋16xx－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋83－2m＋1－m＝－16m＋1＋m＋1＋29(m≥0).(2)∵m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当16m＋1＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元).故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.素养提升利用均值不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用均值不等式求得函数的最值.1.函数f(x)＝x2＋4|x|的最小值为()A.3B.4C.6D.8答案B解析f(x)＝x2＋4|x|＝|x|＋4|x|≥24＝4，当且仅当x＝±2时，等号成立，故选B.2.若x0，y0，则“x＋2y＝22xy”的一个充分不必要条件是()A.x＝yB.x＝2yC.x＝2且y＝1D.x＝y或y＝1答案C解析∵x0，y0，∴x＋2y≥22xy，当且仅当x＝2y时取等号.故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝22xy”的充分不必要条件.故选C.3.(2018·沈阳模拟)已知正数a，b满足a＋b＝1，则4a＋1b的最小值为()A.53B.3C.5D.9答案D解析由题意知，