2020届高考数学理一轮复习讲义71不等关系与不等式

§7.1不等关系与不等式最新考纲考情考向分析1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.属低档题.1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔aba－b＝0⇔a＝ba－b0⇔ab(a，b∈R)(2)作商法ab1⇔abab＝1⇔a＝bab1⇔ab(a∈R，b0)2.不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab⇔ba⇔传递性ab，bc⇒ac⇒可加性ab⇔a＋cb＋c⇔可乘性abc0⇒acbc注意c的符号abc0⇒acbc同向可加性abcd⇒a＋cb＋d⇒同向同正可乘性ab0cd0⇒acbd⇒可乘方性ab0⇒anbn(n∈N＋，n1)a，b同为正数可开方性ab0⇒nanb(n∈N＋，n1)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①ab，ab0⇒1a1b.②a0b⇒1a1b.③ab0,0cd⇒acbd.④0axb或axb0⇒1b1x1a.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则①bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0).②aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0).概念方法微思考1.若ab，且a与b都不为0，则1a与1b的大小关系确定吗？提示不确定.若ab，ab0，则1a1b，即若a与b同号，则分子相同，分母大的反而小；若a0b，则1a1b，即正数大于负数.2.两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如2－1，－1－3.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种.(√)(2)若ab1，则ab.(×)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.(×)(4)ab0，cd0⇒adbc.(√)(5)ab0，ab⇔1a1b.(√)题组二教材改编2.若a，b都是实数，则“a－b0”是“a2－b20”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析a－b0⇒ab⇒ab⇒a2b2，但由a2－b20⇏a－b0.3.设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()A.a－cb－dB.acbdC.a＋cb＋dD.a＋db＋c答案C解析由同向不等式具有可加性可知C正确.题组三易错自纠4.若ab0，cd0，则一定有()A.ac－bd0B.ac－bd0C.adbcD.adbc答案D解析∵cd0，∴0－d－c，又0ba，∴－bd－ac，即bdac，又∵cd0，∴bdcdaccd，即bcad.5.设a，b∈R，则“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得a＋b2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab2×1＝2.即“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分条件；反之，若“a＋b3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a＝6，b＝12.所以“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分不必要条件.故选A.6.若－π2αβπ2，则α－β的取值范围是__________.答案(－π，0)解析由－π2απ2，－π2－βπ2，αβ，得－πα－β0.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a0，b0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A.pqB.p≤qC.pqD.p≥q答案B解析(作差法)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝b2－a2b－aab＝b－a2b＋aab，因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q0，故pq.综上，p≤q.故选B.(2)已知ab0，比较aabb与abba的大小.解∵aabbabba＝aa－bba－b＝aba－b，又ab0，故ab1，a－b0，∴aba－b1，即aabbabba1，又abba0，∴aabbabba，∴aabb与abba的大小关系为：aabbabba.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论.(3)函数的单调性法.跟踪训练1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________.答案MN解析因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋40，所以MN.(2)若a0，且a≠7，则()A.77aa7aa7B.77aa＝7aa7C.77aa7aa7D.77aa与7aa7的大小不确定答案C解析77aa7aa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当a7时，07a1,7－a0，则7a7－a1，∴77aa7aa7；当0a7时，7a1,7－a0，则7a7－a1，∴77aa7aa7.综上，77aa7aa7.题型二不等式的性质例2(1)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是()A.若ab，c≠0，则acbcB.若ab，则ac2bc2C.若ac2bc2，则abD.若ab，则1a1b答案C解析对于选项A，当c0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2bc2，∴c≠0，∴c20，∴一定有ab.故选项C正确；对于选项D，当a0，b0时，不正确.(2)已知四个条件：①b0a；②0ab；③a0b；④ab0，能推出1a1b的是______.(填序号)答案①②④解析运用倒数法则，ab，ab0⇒1a1b，②④正确.又正数大于负数，所以①正确.思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.跟踪训练2(1)已知a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中一定成立的是()A.abacB.c(b－a)0C.cb2ab2D.ac(a－c)0答案A解析由cba且ac0，知c0且a0.由bc，得abac一定成立.(2)若1a1b0，则下列不等式：①a＋bab；②|a||b|；③ab；④abb2中，正确的不等式有________.(填序号)答案①④解析因为1a1b0，所以ba0，a＋b0，ab0，所以a＋bab，|a||b|，在ba两边同时乘以b，因为b0，所以abb2.因此正确的是①④.题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立例3已知ab0，给出下列四个不等式：①a2b2；②2a2b－1；③a－ba－b；④a3＋b32a2b.其中一定成立的不等式为()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④答案A解析方法一由ab0可得a2b2，①成立；由ab0可得ab－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)f(b－1)，即2a2b－1，②成立；∵ab0，∴ab，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)0，∴a－ba－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b32a2b，④不成立.故选A.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2b2，②2a2b－1，③a－ba－b均成立，而④a3＋b32a2b不成立，故选A.命题点2求代数式的取值范围例4已知－1x4,2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.答案(－4,2)(1,18)解析∵－1x4,2y3，∴－3－y－2，∴－4x－y2.由－1x4,2y3，得－33x12,42y6，∴13x＋2y18.引申探究若将本例条件改为－1x＋y4，2x－y3，求3x＋2y的取值范围.解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则m＋n＝3，m－n＝2，∴m＝52，n＝12.即3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，又∵－1x＋y4,2x－y3，∴－5252(x＋y)10,112(x－y)32，∴－3252(x＋y)＋12(x－y)232，即－323x＋2y232，∴3x＋2y的取值范围为－32，232.思维升华(1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明.②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断.(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.跟踪训练3(1)若ab0，则下列不等式一定成立的是()A.1a－b1bB.a2abC.|b||a||b|＋1|a|＋1D.anbn答案C解析(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；C项，|b||a||b|＋1|a|＋1⇔|b|(|a|＋1)|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b||a||b|＋|a|⇔|b||a|，∵ab0，∴|b||a|成立，故选C.(2)已知－1xy3，则x－y的取值范围是________.答案(－4,0)解析∵－1x3，－1y3，∴－3－y1，∴－4x－y4.又∵xy，∴x－y0，∴－4x－y0，故x－y的取值范围为(－4,0).一、选择题1.下列命题中，正确的是()A.若ab，cd，则acbdB.若acbc，则abC.若ac2bc2，则abD.若ab，cd，则a－cb－d答案C解析A项，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；B项，当c0时，acbc⇒ab，所以B错误；C项，因为ac2bc2，所以c≠0，又c20，所以ab，C正确；D项，取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误，故选C.2.若1a1b0，则下列结论正确的是()A.a2b2B.112b12aC.ba＋ab2D.aebbea答案D解析由题意知，ba0，则a2b2，12b12a1，ba＋ab2，∵ba0，∴eaeb0，－b－a0∴－bea－aeb，∴aebbea，故选D.3.若ab0，则下列不等式中一定成立的是()A.a＋1bb＋1aB.bab＋1a＋1C.a－1bb－1aD.2a＋ba＋2bab答案A解析取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当ab0时，f(a)f(b)必定成立，即a－1ab－1b⇔a＋1bb＋1a，但g(a)g(b)未必成立，故选A.4.(2018·沈阳模拟)已知xyz，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是()A.xyyzB.xzyzC.xyxzD.x|y|z|y|答案C解析∵xyz且x＋y＋z＝0，∴3xx＋y＋z＝0,3zx＋y＋z＝0，∴x0，z0，又yz，∴xyxz.5.设x0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则()A.PQB.PQC.P≤QD.P≥Q答案A解析因为2x＋2－x≥22x·2－x＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x0，所以P