2020届高考数学理一轮复习讲义61数列的概念与简单表示法

§6.1数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点.本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.1.数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1____an其中n∈N＋递减数列an＋1____an常数列an＋1＝an3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4.(选用)数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.5.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.概念方法微思考1.数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.2.数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N＋，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(×)(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.(×)(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(√)(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列.(×)(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(×)(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＝Sn－Sn－1.(×)题组二教材改编2.在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.答案21解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.3.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.答案5n－4题组三易错自纠4.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N＋，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________.答案(－3，＋∞)解析因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N＋，都有an＋1an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ0，即λ－(2n＋1).(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ－3.5.数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，则此数列最大项的值是________.答案30解析an＝－n2＋11n＝－n－1122＋1214，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.答案2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N＋解析当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故an＝2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N＋.题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，1099，…；(2)－1,7，－13,19，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5,55,555,5555，….解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an＝2n2n－12n＋1.(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝n22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝59(10n－1).思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征.(2)相邻项的变化特征.(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征.(4)各项符号特征等.(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式.跟踪训练1(1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式an＝________________.答案(－1)n1nn＋1解析这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n1nn＋1.(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________.答案2n＋1n2＋1解析数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1.题型二由an与Sn的关系求通项公式例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.答案4n－5解析a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn＝2an＋1，则S6＝________.答案－63解析∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2).当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，∴Sn＝a11－qn1－q＝－1×1－2n1－2＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.答案2，n＝1，2n－1n，n≥2解析当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝2n－1n.显然当n＝1时不满足上式，∴an＝2，n＝1，2n－1n，n≥2.思维升华已知Sn求an的常用方法是利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，一定要检验a1的情况.跟踪训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.答案4，n＝1，2×3n－1，n≥2解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，则an＝________.答案13n解析因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，②①－②得3n－1an＝13，所以an＝13n(n≥2).由题意知a1＝13符合上式，所以an＝13n.(3)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.答案(－2)n－1解析当n＝1时，a1＝S1＝23a1＋13，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，故anan－1＝－2，故an＝(－2)n－1.题型三由数列的递推关系求通项公式例3设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.答案n2＋n＋22解析由条件知an＋1－an＝n＋1，则an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1＝(2＋3＋4＋…＋n)＋2＝n2＋n＋22.引申探究1.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝nn＋1an”，如何求解？解∵an＋1＝nn＋1an，a1＝2，∴an≠0，∴an＋1an＝nn＋1.∴an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝n－1n·n－2n－1·n－3n－2·…·12·2＝2n.2.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2an＋3”，如何求解？解设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝5，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以5为首项，2为公比的等比数列.所以bn＝5×2n－1，故an＝5×2n－1－3.3.若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝2anan＋2”，如何求解？解∵an＋1＝2anan＋2，a1＝2，∴an≠0，∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，又a1＝2，则1a1＝12，∴1an是以12为首项，12为公差的等差数列.∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2.∴an＝2n.4.若将本例条件换为“a1＝1，an＋1＋an＝2n”，如何求解？解∵an＋1＋an＝2n，∴an＋2＋an＋1＝2n＋2，故an＋2－an＝2.即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n为偶数时，a2＝1，故an＝a2＋2n2－1＝n－1.当n为奇数时，∵an＋1＋an＝2n，an＋1＝n(n＋1为偶数)，故an＝n.综上所述，an＝n，n为奇数，n－1，n为偶数，n∈N＋.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列.(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列.(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解.(4)当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解.跟踪训练3(1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝______________.答案3×2n－1－2解析由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴当n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，将以上各式累加，得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足).(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋1nn＋1，则通项公式an＝________.答案4－1n解析原递推公式可化为an＋1＝an＋1n－1n＋1，则a2＝a1＋11－12，a3＝a2＋12－13，a4＝a3＋13－14，…，an－1＝an－2＋1n－2－1n－1，an＝an－1＋1n－1－1n，逐项相加得an＝a1＋1－1n，故an＝4－1n，经验证a1，a2也符合.题型四数列的性质命题点1数列的单调性例4已知an＝n－1n＋1，那么数列{an}是()A.递减数列B.递增数列C.