2020届高考数学理一轮复习讲义46正弦定理和余弦定理

§4.6正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．概念方法微思考1．在△ABC中，∠A∠B是否可推出sinAsinB?提示在△ABC中，由∠A∠B可推出sinAsinB.2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcosC＋ccosB＝a.试类比写出另外两个式子．提示acosB＋bcosA＝c；acosC＋ccosA＝b.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)当b2＋c2－a20时，三角形ABC为锐角三角形．(×)(3)在△ABC中，asinA＝a＋b－csinA＋sinB－sinC.(√)(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(√)题组二教材改编2．在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为．答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积为．答案23解析∵23sin60°＝4sinB，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝12×2×23＝23.题组三易错自纠4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案A解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA，∴sin(A＋B)sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinBsinBcosA，又sinA0，∴cosB0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形．5．(2018·大连质检)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定答案C解析由正弦定理得bsinB＝csinC，∴sinB＝bsinCc＝40×3220＝31.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．6．(2018·包头模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则C＝.答案2π3解析由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝53b，c＝73b，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝53b2＋b2－73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.题型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，所以tanB＝3.又因为B∈(0，π)，所以B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝217.因为ac，所以cosA＝277.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.思维升华(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．跟踪训练1(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于()A.3π4B.π3C.π4D.π6答案C解析在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝π4，故选C.(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sinC的值为．答案66解析设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝2a3，BC＝4a3.在△ABD中，cos∠ADB＝a2＋4a23－a22a×2a3＝33，∴sin∠ADB＝63，∴sin∠BDC＝63.在△BDC中，BDsinC＝BCsin∠BDC，∴sinC＝BD·sin∠BDCBC＝66.题型二和三角形面积有关的问题例2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．(1)证明由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0A－Bπ，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)解由S＝a24，得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sinA＝12sin2B＝sinBcosB，由sinB≠0，得sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.思维升华(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．跟踪训练2(1)(2018·沈阳质检)若AB＝2，AC＝2BC，则S△ABC的最大值为()A．22B.32C.23D．32答案A解析设BC＝x，则AC＝2x.根据三角形的面积公式，得S△ABC＝12·AB·BCsinB＝x1－cos2B.①根据余弦定理，得cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝4＋x2－2x24x＝4－x24x.②将②代入①，得S△ABC＝x1－4－x24x2＝128－x2－12216.由三角形的三边关系，得2x＋x2，x＋22x，解得22－2x22＋2，故当x＝23时，S△ABC取得最大值22，故选A.(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是．答案332解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.题型三正弦定理、余弦定理的应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形答案C解析方法一由余弦定理可得a＝2b·a2＋b2－c22ab，因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，从而△ABC为等腰三角形．方法二由正弦定理可得sinA＝2sinBcosC，因此sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，故△ABC为等腰三角形．(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案B解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，∴sinA＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．引申探究1．本例(2)中，若将条件变为2sinAcosB＝sinC，判断△ABC的形状．解∵2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.又A，B为△ABC的内角．∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．2．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，判断△ABC的形状．解∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又0Cπ，∴C＝π3，又由2cosAsinB＝sinC得sin(B－A)＝0，∴A＝B，故△ABC为等边三角形．命题点2求解几何计算问题例4如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝π3，AD∶AB＝2∶3，BD＝7，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝2π3，求CD的长．解(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，AB＝3k.又BD＝7，∠DAB＝π3，所以由余弦定理，得(7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcosπ3，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝ADsin∠DABBD＝2×327＝217.(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝217，所以sin∠DBC＝277，所以BDsin∠BCD＝CDsin∠DBC，所以CD＝7×27732＝433.思维升华(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．跟踪训练3(1)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案B解析∵cos2B2＝1＋cosB2，cos2B2＝a＋c2c，∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝a2＋c2－b22a，∴2a