2020届高考数学理一轮复习讲义33定积分与微积分基本定理

§3.3定积分与微积分基本定理最新考纲考情考向分析1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义.利用定积分求平面图形的面积，定积分的计算是高考考查的重点.1．定积分的概念设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点a＝x0x1x2…xn＝b.把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝∑n－1i＝0f(ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃbaf(x)dx，即ʃbaf(x)dx＝limλ→0∑n＝1i＝0f(ξi)Δxi.其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限．f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．2．定积分的性质(1)ʃbacf(x)dx＝c·ʃbaf(x)dx(c为常数)．(2)设f(x)，g(x)可积，则ʃba[f(x)＋g(x)]dx＝ʃbaf(x)dx＋ʃbag(x)dx.3．微积分基本定理如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．概念方法微思考ʃbaf(x)dx是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？提示不是．函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分ʃbaf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃbaf(x)dx＝ʃbaf(t)dt.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃbaf(x)dx0.(√)(3)若ʃbaf(x)dx0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(×)(4)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃ10(x2－x)dx.(×)题组二教材改编2．ʃe＋121x－1dx＝________.答案1解析ʃe＋121x－1dx＝ln(x－1)|e＋12＝lne－ln1＝1.3．ʃ0－11－x2dx＝________.答案π4解析ʃ0－11－x2dx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝1－x2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x2dx＝π4.4．汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是______m.答案132解析s＝ʃ21(3t＋2)dt＝32t2＋2t21＝32×4＋4－32＋2＝10－72＝132(m)．题组三易错自纠5.如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A．1B.43C.3D．2答案B解析所求面积＝ʃ20(－x2＋2x)dx＝－13x3＋x220＝－83＋4＝43.6.一物体作变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12s～6s间的运动路程为____m.答案494解析由题图可知，v(t)＝2t，0≤t1，2，1≤t≤3，13t＋1，3t≤6.由变速直线运动的路程公式，可得s＝611122d2tttdt＝v+ʃ312dt＋ʃ6313t＋1dt=2132611321|2||6tttt=494(m).所以物体在12s～6s间的运动路程是494m.7．202sin4xdx＝________.答案2解析由题意得202sin4xdx＝2200(sincos)d(sincos)|xxxxx＋＝－＝sinπ2－cosπ2－(sin0－cos0)＝2.题型一定积分的计算利用微积分基本定理求下列定积分：(1)ʃ21(x2＋2x＋1)dx；(2)ʃπ0(sinx－cosx)dx；(3)ʃ20|1－x|dx；(4)ʃ21e2x＋1xdx；(5)ʃ1－1e|x|dx；(6)若ʃ10(x2＋mx)dx＝0，求m.解(1)ʃ21(x2＋2x＋1)dx＝ʃ21x2dx＋ʃ212xdx＋ʃ211dx＝x3321＋x2|21＋x|21＝193.(2)ʃπ0(sinx－cosx)dx＝ʃπ0sinxdx－ʃπ0cosxdx＝||－cosxπ0－sinxπ0＝2.(3)ʃ20|1－x|dx＝ʃ10(1－x)dx＋ʃ21(x－1)dx＝x－12x210＋12x2－x21＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1.(4)ʃ21e2x＋1xdx＝ʃ21e2xdx＋ʃ211xdx＝12e2x21＋lnx21＝12e4－12e2＋ln2－ln1＝12e4－12e2＋ln2.(5)ʃ1－1e|x|dx＝ʃ0－1e－xdx＋ʃ10exdx＝||－e－x0－1＋ex10＝－1＋e＋e－1＝2e－2.(6)∵ʃ10(x2＋mx)dx＝x33＋m2x210＝13＋m2＝0，∴m＝－23.思维升华计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．题型二定积分的几何意义命题点1利用定积分的几何意义计算定积分例1设f(x)＝1－x2，x∈[－1，1，x2－1，x∈[1，2]，则ʃ2－1f(x)dx的值为________．答案π2＋43解析根据定积分性质可得ʃ2－1f(x)dx＝ʃ1－11－x2dx＋ʃ21(x2－1)dx，根据定积分的几何意义可知，ʃ1－11－x2dx是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的12，∴ʃ1－11－x2dx＝π2，∴ʃ2－1f(x)dx＝π2＋13x3－x21＝π2＋43.命题点2求平面图形的面积例2(1)曲线y＝2x与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形的面积为________．答案2ln2－12解析解方程组y＝2x，y＝x－1，得x＝2，y＝1，则曲线y＝2x与直线y＝x－1，x＝1所围成的封闭图形如图所示，所求的面积S＝ʃ212x－x＋1dx＝2lnx－12x2＋x21＝(2ln2－2＋2)－0－12＋1＝2ln2－12.(2)曲线y＝14x2和曲线在点(2,1)处的切线以及x轴围成的封闭图形的面积为________．答案16解析设曲线y＝14x2在点(2,1)处的切线为l，∵y′＝12x，∴直线l的斜率k＝y′|x＝2＝1，∴直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1.当y＝0时，x－1＝0，即x＝1，所围成的封闭图形如图所示，∴所求面积S＝ʃ2014x2dx－12×1×1＝112x320－12＝16.思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．跟踪训练1(1)定积分ʃ309－x2dx的值为________．答案9π4解析由定积分的几何意义知，ʃ309－x2dx是由曲线y＝9－x2，直线x＝0，x＝3，y＝0围成的封闭图形的面积．故ʃ309－x2dx＝π·324＝9π4.(2)(2018·赤峰模拟)曲线y＝2sinx(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．答案23－2π3解析令2sinx＝1，得sinx＝12，当x∈[0，π]时，得x＝π6或x＝5π6，所以所求面积S＝66(2sin1)dxx－＝(－2cosx－x)566|＝23－2π3.题型三定积分在物理中的应用例3一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离是________m.答案4＋25ln5解析令v(t)＝0，得t＝4或t＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s＝ʃ407－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln1＋t40＝28－24＋25ln5＝4＋25ln5(m)．思维升华定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃbav(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ʃbaF(x)dx.跟踪训练2一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为()A.3JB.233JC.433JD．23J答案C解析ʃ21F(x)cos30°dx＝ʃ2132(5－x2)dx＝5x－13x3×3221＝433，所以F(x)做的功为433J.1．ʃ10(1－x)dx等于()A．1B．－1C.12D．－12答案C解析ʃ10(1－x)dx＝x－12x210＝12.2．ʃ2π0|sinx|dx等于()A．1B．2C．3D．4答案D解析ʃ2π0|sinx|dx＝2ʃπ0sinxdx＝2(－cosx)|π0＝2×(1＋1)＝4.3．(2018·丹东质检)ʃ1－1(1－x2＋x)dx等于()A．πB.π2C．π＋1D．π－1答案B解析ʃ1－1(1－x2＋x)dx＝ʃ1－11－x2dx＋ʃ1－1xdx＝π2＋12x21－1＝π2.故选B.4．(2018·大连双基测试)220sind2xx等于()A．0B.π4－12C.π4－14D.π2－1答案B解析222001cossindd22xxxx＝12x－12sinx20|＝π4－12.5．(2018·大连调研)若ʃa12x＋1xdx＝3＋ln2(a1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A解析由题意知ʃa12x＋1xdx＝(x2＋lnx)|a1＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2(舍负)．6．设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e](其中e为自然对数的底数)，则ʃe0f(x)dx的值为()A.43B.54C.65D.76答案A解析ʃe0f(x)dx＝ʃ10f(x)dx＋ʃe1f(x)dx＝ʃ10x2dx＋ʃe11xdx＝13x310＋lnx|e1＝13＋1＝43.故选A.7．设a＝ʃ10cosxdx，b＝ʃ10sinxdx，则下列关系式成立的是()A．abB．a＋b1C．abD．a＋b＝1答案A解析∵(sinx)′＝cosx，∴a＝ʃ10cosxdx＝sinx|10＝sin1.∵(－cosx)′＝sinx，∴b＝ʃ10sinxdx＝(－cosx)|10＝1－cos1.∵sin1＋cos11，∴sin11－cos1，即ab.故选A.8.已知函数y＝f(x)的图象为如图所示的折线ABC，则ʃ1－1[(x＋1)f(x)]dx等于()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析由题图易知f(x)＝－x－1，－1≤x≤0，x－1，0x≤1，所以ʃ1－1[(x＋1)f(x)]dx＝ʃ0－1(x＋1)(－x－1)dx＋ʃ10(x＋1)(x－1)dx＝ʃ0－1(－x2－2x－1)dx＋ʃ10(x2－1)dx＝